Esboce e encontre a área da região compreendida entre o eixo x e a hipérbole de equação y=\frac{4}{x-1}, para 2 \leq x \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região limitada pelo eixo x e pela hipérbole
y = \frac{4}{x-1}
no intervalo 2 \le x \le 3.
Conteúdo: cálculo de área de região sob curva usando integrais definidas. Vamos usar a fórmula
\text{área} = \int_{a}^{b} (\text{função superior} - \text{função inferior})\,dx,áçãçã
além de integrar \frac{1}{x-1}.

Passo 2

Esboço qualitativo: a hipérbole tem assíntotas x=1 (vertical) e y=0 (horizontal). Para x>1, y>0 e a curva decresce. Em x=2, y(2)=\frac{4}{1}=4; em x=3, y(3)=\frac{4}{2}=2. A região está acima do eixo x, entre as alturas 4 e 2, para x de 2 a 3.

Passo 3

Configurando a integral de área: a função superior é y=\frac{4}{x-1} e a inferior é y=0. Então
\text{Área} = \int_{2}^{3} \frac{4}{x-1}\,dx.Á

Passo 4

Calcular a primitiva de \frac{4}{x-1}:
\int \frac{4}{x-1}\,dx = 4 \int \frac{1}{x-1}\,dx = 4 \ln\lvert x-1\rvert + C.

Passo 5

Avaliar a integral definida:
\text{Área} = 4\Bigl[\ln\lvert x-1\rvert\Bigr]_{2}^{3} = 4\bigl(\ln(3-1) - \ln(2-1)\bigr) = 4\bigl(\ln 2 - \ln 1\bigr) = 4\ln 2.Á

Resposta

A área da região é 4\ln 2.

Exercícios relacionados