Nos exercícios 21-30, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^1integral2^4-2xdy,dx
e pede que esbocemos a região de integração no plano xy e, em seguida, troquemos a ordem de integração (integrar primeiro em x e depois em y).

Passo 2

Para esboçar a região D:
  1. A reta superior é y=4-2x, que intercepta o eixo y em (0,4) e o eixo x em (2,0).
  2. A reta inferior é y=2.
  3. O eixo x varia de x=0 a x=1.
A interseção de y=2 com y=4-2x ocorre em
2 = 4 - 2x Longrightarrow x = 1
Logo D é o triângulo de vértices (0,2), (1,2) e (0,4).

Passo 3

Para inverter a ordem, determinamos:
  • O menor valor de y em D é y=2.
  • O maior valor de y em D é y=4.
  • Para um y fixo em [2,4], x varia desde o limite vertical x=0 até a reta que define o teto da região:
y = 4 - 2x Longrightarrow x = 4 - y2

Passo 4

Com esses limites, a integral com ordem invertida fica
integraly=2^4integralx=0^4-y2dx,dy

Resposta

integral0^1integral2^4-2xdy,dx ;=; integral2^4integral0^4-y2dx,dy

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