Determine o intervalo de convergência da seguinte série :
Passo 1
O enunciado apresenta a série de potências centrada em
:
Queremos determinar o raio de convergência (usando o teste da razão) e depois verificar os extremos do intervalo.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, considere
. Então
A série converge se
L<1 , ou seja
|x-2|<1 . Logo o raio de convergência é
R=1 .
Passo 3
Da condição
|x-2|<1 obtemos o intervalo aberto de convergência
Para
|x-2|>1 a série diverge imediatamente pelo teste da razão.
Passo 4
Nos pontos finais:
- Em
a série virax=3 , cujos termos não tendem a zero, logo diverge.sumn=0^inftyn^2 - Em
a série virax=1 , e novamentesumn=0^inftyn^2(-1)^n não tende a zero, logo diverge.n^2
Resposta
O intervalo de convergência é
(1,3) .