Determine o intervalo de convergência da seguinte série :
sumn=0^infty n^2(x-2)^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em x0=2:
sumn=0^inftyn^2(x-2)^n
Queremos determinar o raio de convergência (usando o teste da razão) e depois verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, considere an=n^2(x-2)^n. Então
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)^2n^2;|x-2| =;|x-2|
A série converge se L<1, ou seja |x-2|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Da condição |x-2|<1 obtemos o intervalo aberto de convergência
1 < x < 3
Para |x-2|>1 a série diverge imediatamente pelo teste da razão.

Passo 4

Nos pontos finais:
  • Em x=3 a série vira sumn=0^inftyn^2, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
  • Em x=1 a série vira sumn=0^inftyn^2(-1)^n, e novamente n^2 não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (1,3).

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