Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de segundo grau que envolve $ x $ e $ y $. O objetivo aqui é colocar a equação na forma padrão de uma cônica, usando o Teorema 13.11, e então determinar a excentricidade e a equação da diretriz dessa cônica. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação e completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos similares. Isso ajuda a identificar qual tipo de cônica estamos lidando.
Passo 3
Subtraímos e de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem . Fatoramos o coeficiente de :
Passo 5
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos :
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Passo 7
Isolamos os termos constantes:
Passo 8
Dividimos toda a equação por para obter a forma padrão:
Simplificando:
Passo 9
Agora, identificamos que a equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde , , , e .
Passo 10
Calculamos e :
Passo 11
Para encontrar a excentricidade da elipse, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 12
Para encontrar a equação da diretriz, usamos a fórmula:
x = h pm ae
Escolhemos uma das diretrizes. Vamos usar: x = h + ae
Substituindo os valores:
x = 165 + 24523 = 165 + 245 times 32 = 165 + 7210 = 165 + 365 = 525
Então, a equação da diretriz é: x = 525
Resposta
A excentricidade da elipse é 23 e a equação da diretriz é x = 525.