Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
5 x^2+9 y^2=32 x+64

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de segundo grau que envolve $ x $ e $ y $. O objetivo aqui é colocar a equação na forma padrão de uma cônica, usando o Teorema 13.11, e então determinar a excentricidade e a equação da diretriz dessa cônica. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação e completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação 5x^2 + 9y^2 = 32x + 64 para agrupar os termos similares. Isso ajuda a identificar qual tipo de cônica estamos lidando.

Passo 3

Subtraímos 32x e 64 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
5x^2 - 32x + 9y^2 - 64 = 0

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem x. Fatoramos o coeficiente de x^2:
5(x^2 - 325x) + 9y^2 = 64

Passo 5

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos (3210)^2 = (165)^2 = 25625:
5(x^2 - 325x + 25625) - 5(25625) + 9y^2 = 64

Passo 6

Simplificamos a expressão:
5(x - 165)^2 - 2565 + 9y^2 = 64

Passo 7

Isolamos os termos constantes:
5(x - 165)^2 + 9y^2 = 64 + 2565
5(x - 165)^2 + 9y^2 = 3205 + 2565 = 5765

Passo 8

Dividimos toda a equação por 5765 para obter a forma padrão:
5(x - 165)^25765 + 9y^25765 = 1
Simplificando:
(x - 165)^257625 + y^2645 = 1

Passo 9

Agora, identificamos que a equação está na forma padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde h = 165, k = 0, a^2 = 57625, e b^2 = 645.

Passo 10

Calculamos a e b:
a = raiz57625 = 245
b = raiz645 = 8raiz5 = 8raiz55

Passo 11

Para encontrar a excentricidade e da elipse, usamos a fórmula:
e = raiz1 - b^2a^2
Substituindo os valores:
e = raiz1 - 64557625 = raiz1 - 64 times 255 times 576 = raiz1 - 16002880 = raiz12802880 = raiz1636 = 46 = 23

Passo 12

Para encontrar a equação da diretriz, usamos a fórmula:
x = h pm ae
Escolhemos uma das diretrizes. Vamos usar:
x = h + ae
Substituindo os valores:
x = 165 + 24523 = 165 + 245 times 32 = 165 + 7210 = 165 + 365 = 525
Então, a equação da diretriz é:
x = 525

Resposta

A excentricidade da elipse é 23 e a equação da diretriz é x = 525.

Exercícios relacionados