(Vídeo 1) Utilize as operações básicas de adição, subtração e multiplicação e escreva os polinômios na sua forma expandida:
(x-3)(x+1)(-x^2+2 x)-5(x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de expansão de polinômios! A gente vai usar as operações básicas: adição, subtração e multiplicação. O que precisamos fazer é multiplicar e expandir os termos do polinômio dado e, em seguida, simplificar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que temos:
(x - 3)(x + 1)(-x^2 + 2x) - 5(x - 3)
Vamos resolver essa expressão passo a passo. Começaremos multiplicando os primeiros dois binômios (x - 3)(x + 1).

Passo 3

Para multiplicar (x - 3)(x + 1), vamos usar a propriedade distributiva, também conhecida como o método FOIL (Primeiro, Exterior, Interior, Último). Isso significa multiplicar cada termo do primeiro binômio por cada termo do segundo binômio:
(x - 3)(x + 1) &= x cdot x + x cdot 1 - 3 cdot x - 3 cdot 1 &= x^2 + x - 3x - 3 &= x^2 - 2x - 3
Então, (x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3.

Passo 4

Agora, substituímos essa multiplicação de volta na expressão original:
(x^2 - 2x - 3)(-x^2 + 2x) - 5(x - 3)
Vamos agora multiplicar (x^2 - 2x - 3) por (-x^2 + 2x).

Passo 5

Multiplicar dois polinômios envolve distribuir cada termo de um polinômio por cada termo do outro. Vamos fazer isso passo a passo:
(x^2 - 2x - 3)(-x^2 + 2x) &= x^2 cdot (-x^2) + x^2 cdot 2x & - 2x cdot (-x^2) - 2x cdot 2x & - 3 cdot (-x^2) - 3 cdot 2x &= -x^4 + 2x^3 + 2x^3 - 4x^2 + 3x^2 - 6x
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
- x^4 + (2x^3 + 2x^3) + (-4x^2 + 3x^2) - 6x = -x^4 + 4x^3 - x^2 - 6x
Então, (x^2 - 2x - 3)(-x^2 + 2x) = -x^4 + 4x^3 - x^2 - 6x.

Passo 6

Agora, voltamos à expressão original com essa nova multiplicação:
- x^4 + 4x^3 - x^2 - 6x - 5(x - 3)
Vamos multiplicar o -5 pelo binômio (x - 3):
-5 cdot x + (-5) cdot (-3) = -5x + 15
Portanto, a expressão fica:
- x^4 + 4x^3 - x^2 - 6x - 5x + 15

Passo 7

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Os termos em x são -6x e -5x, que somam -11x.
  • Os outros termos permanecem os mesmos.
Então, a expressão final fica:
- x^4 + 4x^3 - x^2 - 11x + 15

Resposta

A forma expandida do polinômio é:
- x^4 + 4x^3 - x^2 - 11x + 15

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