Cada um dos Exercicios 75 -78 apresenta uma função f(x, y, z) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo número (x, y, z),
raiz(x^2 + y^2 + z^2) < delta => |f(x, y, z) - f(0, 0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y, z) = (x + y + z) / (x^2 + y^2 + z^2 + 1), epsilon = 0.015

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e um número positivo . A ideia aqui é mostrar que, para essa função, sempre que a distância do ponto até for menor que um certo , a diferença entre e vai ser menor que . Isso está no campo de continuidade de funções multivariáveis, onde queremos garantir que a função não “explode” perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo na função:
Então, nossa missão é garantir que , ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar :
Como o denominador é sempre maior ou igual a 1 (porque os quadrados são positivos), podemos simplificar:
Agora, vamos usar a desigualdade triangular:
E como , sabemos que cada é menor que . Então:
Portanto:

Passo 4

Queremos que , então:
Resolvendo para :
Então, podemos escolher .

Resposta

Escolhemos . Assim, sempre que , teremos .

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