Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função
e um número positivo
. Em cada exercicio, mostre que existe um
tal que, para todo
,
-
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, para a função
e para
, existe um
tal que sempre que
, então
. Basicamente, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e usando a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Substituindo
e
na função, temos:
Então, a condição que precisamos garantir é:
Passo 3
Sabemos que
é a distância do ponto
até a origem. Queremos que essa distância seja menor que
, ou seja:
Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar, temos:
Então, para que
, precisamos que:
Passo 4
Resolvendo para
:
Portanto, podemos escolher
.
Resposta
Escolhendo
, garantimos que sempre que
, então
. Assim, provamos que o limite satisfaz a condição requerida.