Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função f(x, y) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo (x, y),
raiz(x^2 + y^2) < delta => |f(x, y) - f(0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y) = x^2 + y^2, epsilon = 0.01

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, para a função e para , existe um tal que sempre que , então . Basicamente, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e usando a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo e na função, temos:
Então, a condição que precisamos garantir é:

Passo 3

Sabemos que é a distância do ponto até a origem. Queremos que essa distância seja menor que , ou seja:
Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar, temos:
Então, para que , precisamos que:

Passo 4

Resolvendo para :
Portanto, podemos escolher .

Resposta

Escolhendo , garantimos que sempre que , então . Assim, provamos que o limite satisfaz a condição requerida.

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