Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função f(x, y) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo (x, y),
raiz(x^2 + y^2) < delta => |f(x, y) - f(0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y) = (x^3 + y^4) / (x^2 + y^2) e f(0,0)=0, epsilon=0,02

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para mostrar que, para a função com e , existe um valor tal que, sempre que , a diferença seja menor que . Basicamente, queremos garantir que, perto do ponto , a função não se desvie muito desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com . Sabemos que , então a expressão fica . Ou seja, queremos que o valor absoluto da função seja menor que 0,02 quando estiver bem próximo de .

Passo 3

Vamos expressar :
Podemos separar isso em duas partes:

Passo 4

Agora, vamos relacionar e com . Sabemos que:
Como , então e .

Passo 5

Usando isso, podemos estimar e :
Então,

Passo 6

Como , podemos simplificar a expressão:

Passo 7

Queremos que . Para facilitar, vamos encontrar um que satisfaz essa desigualdade. Assumindo que é bem pequeno, será ainda menor, então podemos aproximar:
Mas para ser mais preciso, consideramos:
Assumindo , então , e temos:

Passo 8

Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Escolhemos . Assim, sempre que , teremos .

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