Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função e um número positivo . Em cada exercicio, mostre que existe um tal que, para todo ,
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para mostrar que, para a função com e , existe um valor tal que, sempre que , a diferença seja menor que . Basicamente, queremos garantir que, perto do ponto , a função não se desvie muito desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com . Sabemos que , então a expressão fica . Ou seja, queremos que o valor absoluto da função seja menor que 0,02 quando estiver bem próximo de .
Passo 3
Vamos expressar :
Podemos separar isso em duas partes:
Passo 4
Agora, vamos relacionar e com . Sabemos que:
Como , então e .
Passo 5
Usando isso, podemos estimar e :
Então,
Passo 6
Como , podemos simplificar a expressão:
Passo 7
Queremos que . Para facilitar, vamos encontrar um que satisfaz essa desigualdade. Assumindo que é bem pequeno, será ainda menor, então podemos aproximar:
Mas para ser mais preciso, consideramos:
Assumindo , então , e temos:
Passo 8
Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos: