Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função f(x, y) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo (x, y),
raiz(x^2 + y^2) < delta => |f(x, y) - f(0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y) = y / (x^2 + 1), epsilon = 0.05

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 70 juntos! A gente precisa usar a definição de limite para mostrar que, para a função e para , existe um tal que, se , então . Basicamente, vamos provar que podemos deixar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo um adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo e na função:
Então, nossa condição para fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um tal que, se , então .
Vamos analisar . Sabemos que para todo , já que é sempre não negativo. Portanto:
Então, se conseguirmos que , automaticamente teremos .

Passo 4

Agora, vamos conectar isso com . Sabemos que:
Portanto, se , então também .
Queremos que , então basta escolher menor ou igual a :

Resposta

Escolhemos . Assim, se , então , satisfazendo a condição desejada.

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