Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função e um número positivo . Em cada exercicio, mostre que existe um tal que, para todo ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 70 juntos! A gente precisa usar a definição de limite para mostrar que, para a função e para , existe um tal que, se , então . Basicamente, vamos provar que podemos deixar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo um adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Substituindo e na função:
Então, nossa condição para fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um tal que, se , então .
Vamos analisar . Sabemos que para todo , já que é sempre não negativo. Portanto:
Então, se conseguirmos que , automaticamente teremos .
Passo 4
Agora, vamos conectar isso com . Sabemos que:
Portanto, se , então também .
Queremos que , então basta escolher menor ou igual a :
Resposta
Escolhemos . Assim, se , então , satisfazendo a condição desejada.