Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função e um número positivo . Em cada exercicio, mostre que existe um tal que, para todo ,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e um número positivo . Queremos mostrar que existe um tal que, se a distância de até for menor que , então a diferença entre e será menor que . Basicamente, estamos aplicando a definição de limite para essa função em .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Substituindo e na função:
Então, queremos que .
Passo 3
Vamos simplificar :
Para garantir que isso seja menor que , precisamos encontrar limites para o numerador e o denominador.
Passo 4
Primeiro, sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então, está entre e . Portanto, o denominador , o que significa que:
Passo 5
Agora, queremos que . Vamos usar a desigualdade do triângulo:
Então, se garantirmos que , teremos .
Passo 6
Sabemos que implica que e . Portanto:
Queremos que , ou seja, .
Passo 7
Então, se escolhermos , teremos que sempre que , então .