Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função f(x, y) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo (x, y),
raiz(x^2 + y^2) < delta => |f(x, y) - f(0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y) = (x + y) / (2 + cos(x)), epsilon = 0.02

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e um número positivo . Queremos mostrar que existe um tal que, se a distância de até for menor que , então a diferença entre e será menor que . Basicamente, estamos aplicando a definição de limite para essa função em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo e na função:
Então, queremos que .

Passo 3

Vamos simplificar :
Para garantir que isso seja menor que , precisamos encontrar limites para o numerador e o denominador.

Passo 4

Primeiro, sabemos que está sempre entre -1 e 1. Então, está entre e . Portanto, o denominador , o que significa que:

Passo 5

Agora, queremos que . Vamos usar a desigualdade do triângulo:
Então, se garantirmos que , teremos .

Passo 6

Sabemos que implica que e . Portanto:
Queremos que , ou seja, .

Passo 7

Então, se escolhermos , teremos que sempre que , então .

Resposta

Escolhendo , garantimos que se , então .

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