Cada um dos Exercicios 75 -78 apresenta uma função f(x, y, z) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo número (x, y, z),
raiz(x^2 + y^2 + z^2) < delta => |f(x, y, z) - f(0, 0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y, z) = tg^2(x) + tg^2(y) + tg^2(z), epsilon = 0,03

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função e um número positivo . O objetivo é mostrar que existe um número tal que, se a distância de até for menor que , então a diferença entre e seja menor que . Isso está relacionado ao conceito de continuidade da função no ponto , usando a definição de - .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Como , temos:
Então, a expressão que queremos que seja menor que é:
Como todas as parcelas são quadrados de tangentes, que são sempre não negativas, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar , e com , e . Sabemos que, perto de zero, é aproximadamente igual a (isto é, quando é pequeno). Portanto, para valores pequenos de , e , temos:
Então, podemos aproximar a expressão:

Passo 4

Queremos que . Vamos relacionar isso com a distância euclidiana . Se fizermos , então elevando ambos os lados ao quadrado:
Para garantir que , podemos escolher tal que:

Passo 5

Agora, substituindo o valor de :
Portanto, escolhendo , garantimos que se , então:

Resposta

Existe um tal que, se , então .

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