Cada um dos Exercicios 75 -78 apresenta uma função
um número positivo
. Em cada exercicio, mostre que existe um
tal que, para todo número
,
-
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e um número positivo
. O objetivo é mostrar que existe um número
tal que, se a distância de
até
for menor que
, então a diferença entre
e
seja menor que
. Isso está relacionado ao conceito de continuidade da função no ponto
, usando a definição de
-
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Como
, temos:
Então, a expressão que queremos que seja menor que
é:
Como todas as parcelas são quadrados de tangentes, que são sempre não negativas, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar
,
e
com
,
e
. Sabemos que, perto de zero,
é aproximadamente igual a
(isto é,
quando
é pequeno). Portanto, para valores pequenos de
,
e
, temos:
Então, podemos aproximar a expressão:
Passo 4
Queremos que
. Vamos relacionar isso com a distância euclidiana
. Se fizermos
, então elevando ambos os lados ao quadrado:
Para garantir que
, podemos escolher
tal que:
Passo 5
Agora, substituindo o valor de
:
Portanto, escolhendo
, garantimos que se
, então:
Resposta
Existe um
tal que, se
, então
.