Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função f(x, y) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo (x, y),
raiz(x^2 + y^2) < delta => |f(x, y) - f(0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y) = (x * y^2) / (x^2 + y^2) e f(0,0)=0, epsilon=0,04

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 73 juntos! A gente precisa usar a definição de limite para mostrar que, para a função com e , existe um valor tal que sempre que , então . Vamos precisar entender como aplicar a definição de limite em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a definição de limite está pedindo. Queremos garantir que a diferença entre e seja menor que sempre que o ponto estiver bem próximo de , ou seja, dentro de um círculo de raio .

Passo 3

Vamos começar calculando . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma maneira de simplificar essa expressão para relacionar com . Vamos observar que:
Note que é sempre positivo, então podemos eliminar o denominador sem complicar a desigualdade.

Passo 5

Vamos analisar a fração . Podemos perceber que , então:
Isso simplifica nossa expressão para:

Passo 6

Agora queremos que . Mas sabemos que é a distância do ponto até . E como , se garantirmos que , então:

Passo 7

Para atender à nossa condição , basta escolher . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Portanto, o valor de que satisfaz a condição do exercício é .

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