Usando a defínição de limite
Cada um dos Exercicios 69-74 fornece uma função e um número positivo . Em cada exercicio, mostre que existe um tal que, para todo ,
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 73 juntos! A gente precisa usar a definição de limite para mostrar que, para a função com e , existe um valor tal que sempre que , então . Vamos precisar entender como aplicar a definição de limite em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a definição de limite está pedindo. Queremos garantir que a diferença entre e seja menor que sempre que o ponto estiver bem próximo de , ou seja, dentro de um círculo de raio .
Passo 3
Vamos começar calculando . Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma maneira de simplificar essa expressão para relacionar com . Vamos observar que:
Note que é sempre positivo, então podemos eliminar o denominador sem complicar a desigualdade.
Passo 5
Vamos analisar a fração . Podemos perceber que , então:
Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 6
Agora queremos que . Mas sabemos que é a distância do ponto até . E como , se garantirmos que , então:
Passo 7
Para atender à nossa condição , basta escolher . Assim, sempre que , teremos:
Resposta
Portanto, o valor de que satisfaz a condição do exercício é .