Cada um dos Exercicios 75 -78 apresenta uma função f(x, y, z) e um número positivo epsilon. Em cada exercicio, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo número (x, y, z),
raiz(x^2 + y^2 + z^2) < delta => |f(x, y, z) - f(0, 0, 0)| < epsilon
  1. f(x, y, z) = x * y * z, epsilon = 0.008

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, para a função e um número positivo , existe um tal que, se , então . Ou seja, precisamos encontrar um valor de que garante que o produto fique menor que sempre que a distância do ponto até a origem for menor que . Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observe que . Então, o que queremos provar é que sempre que . Vamos tentar relacionar com .

Passo 3

Sabemos que , e . Se deixarmos , então , e .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essas desigualdades: . Ou seja, .

Passo 5

Queremos que . Já que , basta garantir que . Assim, precisamos encontrar tal que .

Passo 6

Resolvendo , temos . Calculando a raiz cúbica de , encontramos .

Resposta

Portanto, escolhendo , garantimos que implica .

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