Cada um dos Exercicios 75 -78 apresenta uma função
um número positivo
. Em cada exercicio, mostre que existe um
tal que, para todo número
,
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, para a função
e um número positivo
, existe um
tal que, se
, então
. Ou seja, precisamos encontrar um valor de
que garante que o produto
fique menor que
sempre que a distância do ponto
até a origem for menor que
. Vamos usar conceitos de limites e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, observe que
. Então, o que queremos provar é que
sempre que
. Vamos tentar relacionar
com
.
Passo 3
Sabemos que
,
e
. Se deixarmos
, então
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essas desigualdades:
. Ou seja,
.
Passo 5
Queremos que
. Já que
, basta garantir que
. Assim, precisamos encontrar
tal que
.
Passo 6
Resolvendo
, temos
. Calculando a raiz cúbica de
, encontramos
.
Resposta
Portanto, escolhendo
, garantimos que
implica
.