Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto dado . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais para determinar a inclinação da superfície naquele ponto e, assim, achar as equações que a descrevem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto onde vamos trabalhar é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações da superfície nas direções de e .
Calculando (derivada parcial em relação a ):
E calculando (derivada parcial em relação a ):
Passo 4
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Esses valores representam as inclina��ões da superfície nas direções de e no ponto dado.
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo , , , e :
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal à superfície no ponto, que é dado pelas derivadas parciais . Então, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto e segue na direção do vetor normal. Assim, temos:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é