Nos Exercícios 1-6, (a) expresse como uma função de , utilizando a regra da cadeia, expressando termos de e diferenciando diretamente com relação a . Em seguida, (b) calcule no valor dado de .
5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Precisamos expressar em termos de e depois derivar. Depois disso, vamos calcular o valor dessa derivada quando .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como está definido:
Sabemos que e também são funções de :
Então, para expressar em termos de , substituímos e nas equações:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de . A função pode ser simplificada porque o logaritmo natural e a exponencial são funções inversas:
Portanto, a equação de fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usamos a Regra da Produto para a primeira parte da equação e a derivada direta para a segunda parte.
A Regra da Produto diz que se temos duas funções e , então:
No nosso caso, e .
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas das partes individuais:
Derivada de :
Derivada de :
Derivada de :
Passo 6
Agora, aplicando a Regra da Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 7
Agora queremos calcular quando . Vamos substituir na expressão: