Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule d w / d t no valor dado de t.
5. w = 2y e^t - ln(z), x = ln(t^2 + 1), y = tg^(-1)(t), z = e^t; t = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Precisamos expressar em termos de e depois derivar. Depois disso, vamos calcular o valor dessa derivada quando .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como está definido:
Sabemos que e também são funções de :
Então, para expressar em termos de , substituímos e nas equações:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de . A função pode ser simplificada porque o logaritmo natural e a exponencial são funções inversas:
Portanto, a equação de fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usamos a Regra da Produto para a primeira parte da equação e a derivada direta para a segunda parte.
A Regra da Produto diz que se temos duas funções e , então:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas das partes individuais:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 7

Agora queremos calcular quando . Vamos substituir na expressão:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o valor de quando é:

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