Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não existir, explique por quê. a=2, f(x)=ll2 x+3 & se x>2 3 x-1 & se x<2

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de 2. A função é uma peça só, mas ela muda a fórmula dependendo se é maior ou menor que 2. Vamos usar o conceito de limites laterais para entender o que acontece de cada lado desse 2.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando f(x) = 2x + 3 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores de limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (2x + 3) = 2 times 2 + 3 = 4 + 3 = 7 que são maiores que 2. Nessa parte, a função está definida como:
Então, para encontrar o limite pela direita, substituímos 2 nessa fórmula:
Então, o limite pela direita é 7.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando f(x) = 3x - 1 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores de limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (3x - 1) = 3 times 2 - 1 = 6 - 1 = 5 que são menores que 2. Nessa parte, a função muda e fica assim:
Para encontrar o limite pela esquerda, substituímos 2 nessa nova fórmula:
Então, o limite pela esquerda é 5.

Passo 4

Agora que temos os dois limites laterais, vamos comparar:
  • Limite pela direita: 7
  • Limite pela esquerda: 5
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite geral da função quando se aproxima de 2 não existe. Para que o limite exista, os limites pela direita e pela esquerda precisariam ser iguais.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 2 não existe, porque os limites laterais são diferentes: 7 pela direita e 5 pela esquerda.

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