Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Trigonométrica.
Considere f(x) a função 2-periódica tal que f(x)=sen(3 x), para x in(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier trigonométrica de f(x), função de período 2 definida em (-1,1) por
f(x)=sin(3x)
Para resolver, usamos a fórmula padrão para período 2L com L=1:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl[ancos(npi x)+bnsin(npi x)r],
onde
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 2

Calculamos o termo constante a0:
a0=integral-1^1sin(3x),dx =l[-cos(3x)3r]-1^1 =-cos(3)3+cos(-3)3=0,
pois cos(-3)=cos(3).

Passo 3

Calculamos os coeficientes an para n>=1:
an=integral-1^1sin(3x)cos(npi x),dx
Usando sin Acos B=tfrac12[sin(A+B)+sin(A-B)], cada integral de seno em [-1,1] anula-se por simetria, logo
an=0para todo n>=1

Passo 4

Calculamos os coeficientes bn para n>=1:
bn =integral-1^1sin(3x)sin(npi x),dx =tfrac12integral-1^1l[cos((3-npi)x)-cos((3+npi)x)r]dx
Sabendo que
integral-1^1cos(kx),dx=2sin(k)k,
temos
bn =tfrac12l[ 2sin(3-npi)3-npi -2sin(3+npi)3+npi r]
Como sin(3pm npi)=(-1)^nsin(3), obtemos
bn =(-1)^nsin(3)l[ 13-npi-13+npi r] =(-1)^nsin(3),2npi,9 - n^2pi^2,

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier de f(x) é
f(x) =sumn=1^inftybnsin(npi x) =sumn=1^infty(-1)^n2npisin(3)9 - n^2pi^2,sin(npi x)

Resposta

f(x) =sumn=1^infty(-1)^n,2npisin(3)9 - n^2pi^2;sin(npi x)

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