A função diferenciável z=f(x, y) é dada implicitamente pela equa¢̧ão
x^2+2 y^2+2 z^2+4 x y z=3
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f em (-1,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função diferenciável z = f(x, y) que está definida de forma implícita pela equação:
x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xyz = 3
A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto (-1, 1, 2). Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada parcial e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto (x0, y0, z0) pode ser encontrado usando a fórmula:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0),
onde fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, como a função está definida implicitamente, vamos usar a derivação implícita para encontrar fx e fy . Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x e y .

Passo 4

Vamos derivar em relação a x :
partialpartial x(x^2) + partialpartial x(2y^2) + partialpartial x(2z^2) + partialpartial x(4xyz) = partialpartial x(3)
Isso resulta em:
2x + 0 + 4z partial zpartial x + 4y z + 4x y partial zpartial x = 0

Passo 5

Agora, isolamos partial zpartial x :
(4z + 4xy) partial zpartial x = -2x - 4y z
Então,
partial zpartial x = -2x - 4y z4z + 4xy

Passo 6

De forma similar, derivamos em relação a y :
partialpartial y(x^2) + partialpartial y(2y^2) + partialpartial y(2z^2) + partialpartial y(4xyz) = partialpartial y(3)
Isso resulta em:
0 + 4y + 4z partial zpartial y + 4x z + 4x y partial zpartial y = 0

Passo 7

Isolando partial zpartial y :
(4z + 4xy) partial zpartial y = -4y - 4x z
Então,
partial zpartial y = -4y - 4x z4z + 4xy

Passo 8

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto (-1, 1, 2):
Primeiro, substituímos x = -1 , y = 1 , z = 2 :
Para fx :
fx = -2(-1) - 4(1)(2)4(2) + 4(-1)(1) = 2 - 88 - 4 = -64 = -32
Para fy :
fy = -4(1) - 4(-1)(2)4(2) + 4(-1)(1) = -4 + 88 - 4 = 44 = 1

Passo 9

Com as derivadas parciais encontradas, agora podemos usar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo x0 = -1 , y0 = 1 , z0 = 2 , fx = -32 e fy = 1 :
z - 2 = -32(x + 1) + 1(y - 1)

Passo 10

Vamos simplificar a equação:
z - 2 = -32x - 32 + y - 1
Somando 2 aos dois lados:
z = -32x + y - 32 - 1 + 2,
z = -32x + y - 12

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = -32x + y - 12

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