A função diferenciável
é dada implicitamente pela equa¢̧ão
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função diferenciável
que está definida de forma implícita pela equação:
A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada parcial e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto
pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, como a função está definida implicitamente, vamos usar a derivação implícita para encontrar
e
. Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
e
.
Passo 4
Vamos derivar em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Então,
Passo 6
De forma similar, derivamos em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 7
Isolando
:
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Primeiro, substituímos
,
,
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Com as derivadas parciais encontradas, agora podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo
,
,
,
e
:
Passo 10
Vamos simplificar a equação:
Somando 2 aos dois lados:
Resposta
A equação do plano tangente é: