Resolva:
integral raiz3+x(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz3+x(x+1)^2 , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, precisamos identificar uma boa substituição que simplifique a expressão e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que raiz3+x pode ser escrita como (3+x)^1/2. Então, nossa integral fica:
integral (3+x)^1/2 cdot (x+1)^2 , dx

Passo 3

Agora, buscamos uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Vamos tentar substituir u = x + 1. Assim, du = dx, e x = u - 1. Vamos reescrever a integral em termos de u:
integral (3 + (u - 1))^1/2 cdot u^2 , du = integral (2 + u)^1/2 cdot u^2 , du

Passo 4

Embora a substituição u = x + 1 tenha simplificado um pouco, ainda podemos buscar uma substituição mais eficaz. Vamos tentar v = 2 + u, onde u = x + 1. Então, dv = du, e u = v - 2. Substituindo na integral:
integral v^1/2 cdot (v - 2)^2 , dv

Passo 5

Agora, expandimos (v - 2)^2:
(v - 2)^2 = v^2 - 4v + 4
Substituindo de volta na integral:
integral v^1/2 (v^2 - 4v + 4) , dv = integral (v^5/2 - 4v^3/2 + 4v^1/2) , dv

Passo 6

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral v^5/2 , dv = 27 v^7/2
integral -4v^3/2 , dv = -4 cdot 25 v^5/2 = -85 v^5/2
integral 4v^1/2 , dv = 4 cdot 23 v^3/2 = 83 v^3/2

Passo 7

Juntando tudo, temos:
27 v^7/2 - 85 v^5/2 + 83 v^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando das substituições anteriores, onde v = 2 + u e u = x + 1, substituímos de volta:
v = 2 + (x + 1) = x + 3
Então:
27 (x + 3)^7/2 - 85 (x + 3)^5/2 + 83 (x + 3)^3/2 + C

Resposta

A integral integral raiz3+x(x+1)^2 , dx é igual a:
27 (x + 3)^7/2 - 85 (x + 3)^5/2 + 83 (x + 3)^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados