Em cada um dos exercícios chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=\frac{x}{y-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Determinar todos os possíveis valores de n (ou seja, o conjunto imagem/valores que a função pode assumir).
  • Para cada valor de n, descrever analiticamente o conjunto de nível \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid f(x,y)=n\} e, se possível, dar uma representação geométrica.
As informações fornecidas são:
f(x,y)=\frac{x}{y-1},
portanto o domínio natural da função é o conjunto de todos os pares (x,y) com y\neq1, pois y=1 anula o denominador e a função fica indefinida.

Passo 2

Definição e equação do conjunto de nível. Por definição,
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq1 \text{ e } \frac{x}{y-1}=n\}.
Então, para cada n fixo, devemos resolver a equação
\frac{x}{y-1}=n,
sob a restrição y\neq1.

Passo 3

Resolver a equação: multiplico ambos os lados por y-1. Isso é permitido porque y-1\neq0 para pontos do domínio.
x = n(y-1).
Essa é a forma fundamental da relação entre x e y nos conjuntos de nível. A partir dela vamos separar os casos n\neq0 e n=0, porque a manipulação para isolar y envolve dividir por n.

Passo 4

Caso n\neq0. Dividindo por n e isolando y obtemos
y=\frac{x}{n}+1.
Geometricamente, isto é a equação de uma reta no plano com coeficiente angular (inclinação) \frac{1}{n} e intercepto no eixo y igual a 1. No entanto, atenção: o ponto (0,1) satisfaz a equação da reta (quando x=0 y=1), mas esse ponto não pertence ao domínio da função (porque y=1 é proibido). Logo, para n\neq0 o conjunto de nível é a reta dada por y=\dfrac{x}{n}+1 com o ponto (0,1) excluído.
Uma descrição paramétrica conveniente é:
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(t,\tfrac{t}{n}+1)\mid t\in\mathbb{R},\\ t\neq0\},
porque t=0 corresponderia a y=1, ponto excluído.

Passo 5

Caso n=0. A equação \dfrac{x}{y-1}=0 é equivalente a x=0 (desde que y\neq1, para não criar indeterminação). Portanto
\mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R},\\ y\neq1\}.
Geometricamente, isso é a reta vertical x=0 com o ponto (0,1) removido. Note que esse caso é o limite do caso geral quando n\to\infty na inclinação, mas é tratado separadamente porque na expressão y=\dfrac{x}{n}+1 não podemos dividir por n=0.

Passo 6

Determinar todos os possíveis valores de n (a imagem/alcance da função). Mostro que qualquer n\in\mathbb{R} é atingido por f. Basta escolher, por exemplo, y=2 (que é permitido) e tomar x=n. Então
f(n,2)=\frac{n}{2-1}=n.
Portanto todo real n é um valor possível da função. Conclusão: o conjunto de valores possíveis é \mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação geométrica conjunta e observações úteis para a prova:
  • Para cada n\neq0, \mathcal{C}_{n}(f) é a reta de equação y=\dfrac{x}{n}+1, mas sem o ponto (0,1). Todas essas retas têm intercepto y=1; geometricamente elas “passam por” (0,1), porém esse ponto não pertence a nenhuma \mathcal{C}_{n}(f) porque está fora do domínio. Assim, as curvas de nível são uma família de retas que se encontram em (0,1) se considerássemos a reta inteira, mas no domínio real estão todas “com um furo” naquele ponto.
  • Para n=0, a curva de nível é a reta vertical x=0 exceto (0,1). Essa reta também “passa por” o mesmo ponto proibido.
  • Retas associadas a valores distintos de n são disjuntas no domínio (se intersectariam somente em (0,1), que está excluído), portanto nenhum ponto do domínio pertence a duas curvas de nível diferentes.
  • Exemplos concretos: \mathcal{C}_{1} é a reta y=x+1 sem (0,1); \mathcal{C}_{-1} é y=-x+1 sem (0,1); \mathcal{C}_{0} é x=0 com y\neq1.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumindo o procedimento rápido que vale na hora):
  1. Identifique domínio: aqui y\neq1.
  2. Escreva a equação do nível: \dfrac{x}{y-1}=n.
  3. Resolva para y quando possível (caso n\neq0) ou para x (caso n=0).
  4. Lembre de excluir pontos do domínio (aqui (0,1) fica sempre de fora).
    Com esse roteiro você constrói rapidamente a descrição analítica e a imagem geométrica.

Resposta

\text{Conjunto de possíveis valores de }n: \mathbb{R}.í\n
\text{Para }n\neq0:\\ \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=\dfrac{x}{n}+1\}\setminus\{(0,1)\}.\n
\text{Para }n=0:\\ \mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq1\}.

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