Em cada um dos exercícios chame de
o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de
. Chame de
o conjunto de nível
de
e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível
da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Determinar todos os possíveis valores de
(ou seja, o conjunto imagem/valores que a função pode assumir). - Para cada valor de
, descrever analiticamente o conjunto de nível e, se possível, dar uma representação geométrica.
As informações fornecidas são:
portanto o domínio natural da função é o conjunto de todos os pares
com
, pois
anula o denominador e a função fica indefinida.
Passo 2
Definição e equação do conjunto de nível. Por definição,
Então, para cada
fixo, devemos resolver a equação
sob a restrição
.
Passo 3
Resolver a equação: multiplico ambos os lados por
. Isso é permitido porque
para pontos do domínio.
Essa é a forma fundamental da relação entre
e
nos conjuntos de nível. A partir dela vamos separar os casos
e
, porque a manipulação para isolar
envolve dividir por
.
Passo 4
Caso
. Dividindo por
e isolando
obtemos
Geometricamente, isto é a equação de uma reta no plano com coeficiente angular (inclinação)
e intercepto no eixo
igual a
. No entanto, atenção: o ponto
satisfaz a equação da reta (quando
dá
), mas esse ponto não pertence ao domínio da função (porque
é proibido). Logo, para
o conjunto de nível é a reta dada por
com o ponto
excluído.
Uma descrição paramétrica conveniente é:
porque
corresponderia a
, ponto excluído.
Passo 5
Caso
. A equação
é equivalente a
(desde que
, para não criar indeterminação). Portanto
Geometricamente, isso é a reta vertical
com o ponto
removido. Note que esse caso é o limite do caso geral quando
na inclinação, mas é tratado separadamente porque na expressão
não podemos dividir por
.
Passo 6
Determinar todos os possíveis valores de
(a imagem/alcance da função). Mostro que qualquer
é atingido por
. Basta escolher, por exemplo,
(que é permitido) e tomar
. Então
Portanto todo real
é um valor possível da função. Conclusão: o conjunto de valores possíveis é
.
Passo 7
Interpretação geométrica conjunta e observações úteis para a prova:
- Para cada
, é a reta de equação , mas sem o ponto . Todas essas retas têm intercepto ; geometricamente elas “passam por” , porém esse ponto não pertence a nenhuma porque está fora do domínio. Assim, as curvas de nível são uma família de retas que se encontram em se considerássemos a reta inteira, mas no domínio real estão todas “com um furo” naquele ponto. - Para
, a curva de nível é a reta vertical exceto . Essa reta também “passa por” o mesmo ponto proibido. - Retas associadas a valores distintos de
são disjuntas no domínio (se intersectariam somente em , que está excluído), portanto nenhum ponto do domínio pertence a duas curvas de nível diferentes. - Exemplos concretos:
é a reta sem ; é sem ; é com .
Passo 8
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento rápido que vale na hora):
- Identifique domínio: aqui
. - Escreva a equação do nível:
. - Resolva para
quando possível (caso ) ou para (caso ). - Lembre de excluir pontos do domínio (aqui
fica sempre de fora).
Com esse roteiro você constrói rapidamente a descrição analítica e a imagem geométrica.