Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando substituição:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A variável de integração é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que , mais uma constante de integração .
Passo 2
Ideia da técnica de substituição (explicando como e por que funciona).
- Se a integral tem a forma
, então fazendo a substituição e obtemos , que normalmente é mais simples. - Em termos práticos: escolhe-se
como a “parte interna” de uma composição, calcula-se (a derivada de vezes ) e substitui tudo na integral. - Aqui cada símbolo significa:
-
é a nova variável (função de ); -
é a diferencial, ; -
é a função externa que sobra quando escrevemos a integranda como .
-
Passo 3
Identificar a substituição apropriada para este integrando.
- Observação prática: dentro do cosseno temos
. A derivada de é , que aparece multiplicando o cosseno na integranda. Isso é o sinal clássico de que a substituição funciona bem. - Fazemos a substituição
- Calculamos a diferencial
:
- Concluímos que
. (Note que foi usada a derivada de .)
Passo 4
Trocar variáveis na integral usando a substituição encontrada.
- Substituindo
e na integral original, obtemos:
- Agora a integral está numa forma simples em termos de
.
Passo 5
Calcular a integral em
.
- Conhecimento usado: a primitiva de
é , porque . - Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
(retro-substituição).
- Substituindo
de volta:
- Essa é uma primitiva da integranda original.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confirmação).
- Diferenciando a resposta obtida:
que é exatamente a integranda
. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Dica final e variação rápida (como aplicar na prova).
- Regra prática: sempre procure uma parte interna
cuja derivada apareça multiplicando a função externa. Se aparecer com um coeficiente diferente, pode-se ajustar com uma constante (`por exemplo`, se estivesse usar e compensar com fator ). - Exemplo rápido:
.