Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
\int 2 x \cos \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando substituição:
\int 2 x \cos\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é 2x\cos\!\left(x^{2}+1\right).
  • A variável de integração é x.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2x\cos\!\left(x^{2}+1\right), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia da técnica de substituição (explicando como e por que funciona).
  • Se a integral tem a forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, então fazendo a substituição \;u=g(x)\; e \;du=g'(x)\,dx\; obtemos \int f(u)\,du, que normalmente é mais simples.
  • Em termos práticos: escolhe-se u como a “parte interna” de uma composição, calcula-se du (a derivada de u vezes dx) e substitui tudo na integral.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • u é a nova variável (função de x);
    • du é a diferencial, du = \dfrac{du}{dx}\,dx;
    • f é a função externa que sobra quando escrevemos a integranda como f(g(x)).

Passo 3

Identificar a substituição apropriada para este integrando.
  • Observação prática: dentro do cosseno temos x^{2}+1. A derivada de x^{2}+1 é 2x, que aparece multiplicando o cosseno na integranda. Isso é o sinal clássico de que a substituição funciona bem.
  • Fazemos a substituição
u = x^{2}+1.
  • Calculamos a diferencial du:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = 2x\,dx.
  • Concluímos que 2x\,dx = du. (Note que foi usada a derivada de x^2+1.)

Passo 4

Trocar variáveis na integral usando a substituição encontrada.
  • Substituindo u=x^{2}+1 e 2x\,dx=du na integral original, obtemos:
\int 2x\cos\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = \int \cos(u)\,du.
  • Agora a integral está numa forma simples em termos de u.

Passo 5

Calcular a integral em u.
  • Conhecimento usado: a primitiva de \cos(u) é \sin(u), porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
  • Portanto,
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x (retro-substituição).
  • Substituindo u=x^{2}+1 de volta:
\sin(u)+C = \sin\!\left(x^{2}+1\right) + C.
  • Essa é uma primitiva da integranda original.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação).
  • Diferenciando a resposta obtida:
\frac{d}{dx}\Bigl(\sin\!\left(x^{2}+1\right)\Bigr) = \cos\!\left(x^{2}+1\right)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr) = \cos\!\left(x^{2}+1\right)\cdot 2x,
que é exatamente a integranda 2x\cos\!\left(x^{2}+1\right). Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Dica final e variação rápida (como aplicar na prova).
  • Regra prática: sempre procure uma parte interna g(x) cuja derivada apareça multiplicando a função externa. Se aparecer com um coeficiente diferente, pode-se ajustar com uma constante (`por exemplo`, se estivesse 3x\cos(x^2+1) usar du=2x\,dx e compensar com fator 3/2).
  • Exemplo rápido: \int 3x\cos\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = \dfrac{3}{2}\sin\!\left(x^{2}+1\right) + C.

Resposta

\sin\!\left(x^{2}+1\right)+C

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