Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é
e trata-se de uma integral indefinida (resultado com constante de integração).
Passo 2
Ideia principal (motivação para a técnica): observar que dentro da função trigonométrica aparece
. Quando na integral há uma função composta
e o derivado de
aparece multiplicando, uma boa escolha é fazer a substituição
. Aqui vamos tentar isso. Definimos
Agora calculamos a diferencial de
. Derivando em relação a
,
ou seja, em forma diferencial
Passo 3
Isolamos
em termos de
, porque no integrando temos exatamente
:
Também substituímos
por
dentro do cosseno:
. Então a integral original pode ser reescrita completamente em
:
Passo 4
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Agora usamos a antiderivada conhecida: a primitiva de
é
, pois
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, o resultado fica
Passo 6
Verificação rápida (checar na prova é uma boa prática): derivando o resultado para ver se obtemos o integrando.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
que coincide com o integrando. Está correto.
Passo 7
Dica prática e observações para a prova: sempre procure se a derivada de uma “parte interna” aparece multiplicando a função externa. Se aparecer (às vezes até com um fator numérico), a substituição costuma resolver fácil. Exemplo parecido e rápido:
porque a técnica é exatamente a mesma.