Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
\int x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
Informações dadas: o integrando é x\cos\!\bigl(x^{2}\bigr) e trata-se de uma integral indefinida (resultado com constante de integração).

Passo 2

Ideia principal (motivação para a técnica): observar que dentro da função trigonométrica aparece x^{2}. Quando na integral há uma função composta f(g(x)) e o derivado de g(x) aparece multiplicando, uma boa escolha é fazer a substituição u=g(x). Aqui vamos tentar isso. Definimos
u = x^{2}.
Agora calculamos a diferencial de u. Derivando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2x,
ou seja, em forma diferencial
du = 2x\,dx.

Passo 3

Isolamos x\,dx em termos de du, porque no integrando temos exatamente x\,dx:
x\,dx = \frac{du}{2}.
Também substituímos x^{2} por u dentro do cosseno: \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)=\cos(u). Então a integral original pode ser reescrita completamente em u:
\int x \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{2}.

Passo 4

Fatoramos a constante 1/2 para fora da integral:
\int \cos(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.
Agora usamos a antiderivada conhecida: a primitiva de \cos(u) é \sin(u), pois \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que u=x^{2}, o resultado fica
\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (checar na prova é uma boa prática): derivando o resultado para ver se obtemos o integrando.
Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\right) = \frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = x\cos\bigl(x^{2}\bigr),
que coincide com o integrando. Está correto.

Passo 7

Dica prática e observações para a prova: sempre procure se a derivada de uma “parte interna” aparece multiplicando a função externa. Se aparecer (às vezes até com um fator numérico), a substituição costuma resolver fácil. Exemplo parecido e rápido:
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C,
porque a técnica é exatamente a mesma.

Resposta

\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C

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