Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias.
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{1+x \ln x}
\left() compare \left.\operatorname{com} \frac{1}{x+x \ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{1 + x\,\ln x}
comparando-a com
\frac{1}{x + x\,\ln x} = \frac{1}{x\,(1 + \ln x)}.
O conteúdo principal é o teste de comparação (ou comparação por limite) para integrais impróprias.

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{1}{1 + x\,\ln x} \quad\text{e}\quad g(x) = \frac{1}{x\,(1 + \ln x)}.
Calculamos o limite
L = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{1 + x\,\ln x}}{\displaystyle\frac{1}{x\,(1 + \ln x)}} = \lim_{x\to\infty}\frac{x\,(1 + \ln x)}{1 + x\,\ln x}.
Para x\to\infty vale x\,\ln x\gg1, então o termo dominante no numerador e no denominador é x\,\ln x, e
L = 1.

Passo 3

Sabemos que
\int_{1}^{\infty}g(x)\,dx = \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\,(1 + \ln x)}
diverge. De fato, basta fazer a mudança de variável u = 1 + \ln x, o que dá du = \tfrac{dx}{x} e
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\,(1 + \ln x)} = \int_{u=1}^{\infty}\frac{du}{u} = \bigl[\ln u\bigr]_{1}^{\infty} = \infty.
Pelo teste de comparação por limite, como 0< L<\infty, as integrais de f e de g têm o mesmo comportamento na divergência.

Resposta

A integral
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{1 + x\,\ln x}
diverge.

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