Cada um dos exercícios a)-d ) dá uma função f(x), um ponto x_{0} e um número positivo \epsilon. Determine L=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x). Em seguida, determine um número \delta>0 de modo que para todo x
Observação importante do enunciado: a expressão de f tem forma \dfrac{0}{0} ao substituir x=2, então a função não está definida em x=2. Para o limite precisamos analisar o comportamento quando x se aproxima de 2, com x\neq2.
Passo 2
Simplificar a expressão para entender o comportamento quando x se aproxima de 2.
Fatorando o numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Logo, para x\neq2 (ou seja, em todo ponto próximo de 2, mas diferente de 2),
Explicação didática curta: a divisão por x-2 só é válida quando x-2\neq0. Como limite só olha para x próximos de 2 (mas distintos de 2), essa igualdade f(x)=x+2 para x\neq2 é válida e nos permite calcular o limite pela substituição.
Passo 3
Calcular o limite usando a forma simplificada f(x)=x+2 (para x\neq2).
Como x+2 é uma função contínua, podemos simplesmente substituir x\to2:
L=\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2} (x+2)=2+2=4.
Portanto \,L=4.
Passo 4
Provar a condição \forall\epsilon>0 encontrar \delta>0 tal que 0<|x-2|<\delta\Rightarrow|f(x)-4|<\epsilon.
Usando a forma simplificada f(x)=x+2 para x\neq2, temos
|f(x)-4|=\big| (x+2)-4\big|=|x-2|.
Queremos garantir que |f(x)-4|<\epsilon. Da igualdade acima, isso equivale a pedir |x-2|<\epsilon.
Logo, uma escolha natural e suficiente é tomar
\delta=\epsilon.
Justificativa clara: se escolhemos \delta=\epsilon e 0<|x-2|<\delta, então
|f(x)-4|=|x-2|<\delta=\epsilon,
o que é exatamente a condição desejada. Note que 0<|x-2|<\delta também garante x\neq2, então a expressão f(x)=x+2 usada é válida.
Passo 5
Aplicando ao valor numérico dado \epsilon=0,05: tomando \delta=\epsilon obtemos \delta=0,05. Isso atende a condição pedida.