Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado:
d yd t-2 t y=t, y(0)=1;

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydt - 2,t,y = t, y(0)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão
dydt + p(t),y = g(t),
onde aqui p(t) = -2t e g(t)=t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral -2t,dtr) = exp(-t^2)

Passo 4

Multiplicamos a ODE por mu(t):
e^-t^2dydt - 2t,e^-t^2y = t,e^-t^2
O lado esquerdo é ddtl(e^-t^2yr). Integrando ambos os lados obtemos
integral ddtl(e^-t^2yr),dt = integral t,e^-t^2,dt Longrightarrow e^-t^2y = integral t,e^-t^2,dt + C
E sabemos que
integral t,e^-t^2,dt = -tfrac12,e^-t^2 + C
Logo
e^-t^2y = -tfrac12,e^-t^2 + C

Passo 5

Impondo y(0)=1 temos
e^0cdot1 = -tfrac12,e^0 + C Longrightarrow 1 = -tfrac12 + C Longrightarrow C = tfrac32
Portanto
e^-t^2y = -tfrac12,e^-t^2 + tfrac32 Longrightarrow y = -tfrac12 + tfrac32,e^t^2

Resposta

boxedy(t) = 32,e^t^2 - 12

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