Questão:
(a) Determine a equação do plano tangente à superfície
de equação
em (
).
(b) Determine a equação da reta normal ao plano encontrado no item anterior.
(a) Determine a equação do plano tangente à superfície
(b) Determine a equação da reta normal ao plano encontrado no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o plano tangente à superfície implícita
no ponto
, e (b) a reta normal a esse plano passando pelo mesmo ponto.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função e o fato de que, para uma superfície definida por
, o vetor gradiente em um ponto é normal ao plano tangente naquele ponto. A reta normal então terá direção dada por esse vetor gradiente.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função
Passo 2
Definimos
O gradiente de
é dado por
Em
temos
Passo 3
A equação do plano tangente em
usa a fórmula
Substituindo
obtemos
Desenvolvendo os termos:
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 4
A reta normal ao plano passa por
com (t\in\mathbb{R}]. Em forma simétrica:
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: