4^a Questão:
(a) Determine a equação do plano tangente à superfície S de equação
x^2+3 y^2+4 z^2=8
em ( 1,1,1 ).
(b) Determine a equação da reta normal ao plano encontrado no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o plano tangente à superfície implícita
x^2+3y^2+4z^2=8
no ponto (1,1,1), e (b) a reta normal a esse plano passando pelo mesmo ponto.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função f(x,y,z) e o fato de que, para uma superfície definida por f(x,y,z)=constante, o vetor gradiente em um ponto é normal ao plano tangente naquele ponto. A reta normal então terá direção dada por esse vetor gradiente.

Passo 2

Definimos
f(x,y,z)=x^2+3y^2+4z^2
O gradiente de f é dado por
nabla f(x,y,z)=l(2x,;6y,;8zr)
Em (1,1,1) temos
nabla f(1,1,1) = l(2cdot1,;6cdot1,;8cdot1r) = (2,6,8)

Passo 3

A equação do plano tangente em P=(1,1,1) usa a fórmula
nabla f(P)cdotl(x-1,;y-1,;z-1r)=0
Substituindo nabla f(1,1,1)=(2,6,8) obtemos
2(x-1) + 6(y-1) + 8(z-1) = 0
Desenvolvendo os termos:
2x-2 + 6y-6 + 8z-8 = 0 Longrightarrow 2x + 6y + 8z -16 = 0
Podemos simplificar dividindo por 2:
x + 3y + 4z - 8 = 0

Passo 4

A reta normal ao plano passa por
com (t\in\mathbb{R}]. Em forma simétrica:

Resposta

(a) Plano tangente:
x + 3y + 4z - 8 = 0
(b) Reta normal:
x-12 ;=;y-16;=;z-18 ou x = 1 + 2t, y = 1 + 6t, z = 1 + 8t

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