Questão:
(a) Determine a equação do plano tangente à superfície 
  de equação
 
em ( 
  ).
(b) Determine a equação da reta normal ao plano encontrado no item anterior.
(a) Determine a equação do plano tangente à superfície
(b) Determine a equação da reta normal ao plano encontrado no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o plano tangente à superfície implícita
no ponto 
 , e (b) a reta normal a esse plano passando pelo mesmo ponto.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função  e o fato de que, para uma superfície definida por 
 , o vetor gradiente em um ponto é normal ao plano tangente naquele ponto. A reta normal então terá direção dada por esse vetor gradiente.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função
Passo 2
Definimos
O gradiente de 
  é dado por
Em 
  temos
Passo 3
A equação do plano tangente em 
  usa a fórmula
Substituindo 
  obtemos
Desenvolvendo os termos:
Podemos simplificar dividindo por 
 :
Passo 4
A reta normal ao plano passa por 
com (t\in\mathbb{R}]. Em forma simétrica:
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: