Seja
para
.
a) Determine a taxa de variação média de
com relação a
nos intervalos.
i) de
a
ii) de
a
b) Faça uma tabela de valores da taxa média de variação de
com relação a
no intervalo
, para alguns valores de
que se aproximem de 2 , como
e
.
c) O que a sua tabela indica é a taxa média de variação de f com relação a
em
?
d) Calcule o limite, quando
se aproxima de 2 , da taxa média de variação de
com relação a
no intervalo de 2 a
. Você precisará fazer alguns cálculos algébricos antes de substituir
.
a) Determine a taxa de variação média de
i) de
ii) de
b) Faça uma tabela de valores da taxa média de variação de
c) O que a sua tabela indica é a taxa média de variação de f com relação a
d) Calcule o limite, quando
Passo 1
O enunciado e o que ele pede:
- A função dada é
para . - Parte (a) pede a taxa de variação média de
em: - (i) no intervalo de
a ; - (ii) no intervalo de
a .
- (i) no intervalo de
- Parte (b) pede uma tabela de valores dessa taxa média no intervalo
para . - Parte (c) pergunta o que a tabela indica sobre a taxa média em
. - Parte (d) pede que se calcule o limite, quando
, da taxa média de variação de no intervalo de a ; diz que é preciso fazer álgebra antes de substituir .
Passo 2
O que é taxa média de variação (uma pequena aula): para qualquer função
e dois pontos
e
com
, a taxa média de variação de
em
é
Isto mede a variação média de
por unidade de
entre
e
; geometricamente é o coeficiente angular da reta secante que passa por
e
.
Passo 3
Calcule a taxa média de variação de
de
a
(parte (a)(i)).
Aplicando a fórmula com e
:
Aplicando a fórmula com
Agora simplificar o numerador:
Dividindo por
não muda, logo a taxa média é
Passo 4
Calcule a taxa média de variação de
de
a
(parte (a)(ii)).
Usando a fórmula com e
:
Usando a fórmula com
Simplifico o numerador escrevendo com denominador comum:
Então
Perceba que
, portanto
Conclusão: para
a taxa média no intervalo
é
Passo 5
Aplicar a fórmula encontrada para fazer a tabela pedida em (b). Vamos calcular
para cada
dado e apresentar aproximações decimais (usar vírgula como separador decimal).
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Interpretação da tabela (parte (c)): os valores da taxa média estão se aproximando de
(ou seja, de
) à medida que
chega mais perto de
. Portanto a tabela indica que a taxa média de variação de
em
tende para
.
Passo 7
Cálculo do limite pedido (parte (d)), mostrando a álgebra antes de substituir
.
Partimos da expressão já simplificada para a taxa média:
Partimos da expressão já simplificada para a taxa média:
Agora tomamos o limite quando
:
Isto confirma o que a tabela sugeriu.
Passo 8
Comentário final (didático e motivador): o processo que fizemos — calcular a taxa média e tomar o limite quando o segundo ponto se aproxima do primeiro — é exatamente a maneira de encontrar a taxa de variação instantânea (o que, em cálculo, corresponde à derivada) em
. Aqui o resultado final é
. Boa! Continua praticando que você pega o jeito rápido.
Resposta
(a)(i)
(a)(ii)
(b) Tabela de taxas médias:
(c) A tabela indica que a taxa média tende para quando
.
(d)
(a)(ii)
(b) Tabela de taxas médias:
(c) A tabela indica que a taxa média tende para
(d)