Seja f(t)=1 / t para t \neq 0.
a) Determine a taxa de variação média de f com relação a t nos intervalos.
i) de t=2 t a t=3
ii) de t=2 a t=T
b) Faça uma tabela de valores da taxa média de variação de f com relação a t no intervalo [2, T], para alguns valores de T que se aproximem de 2 , como T=2,1 ; T=2,01 ; T=2,001 ; T=2,0001 ; T=2,00001 e T=2,000001.
c) O que a sua tabela indica é a taxa média de variação de f com relação a t em t=2 ?
d) Calcule o limite, quando T se aproxima de 2 , da taxa média de variação de f com relação a t no intervalo de 2 a T. Você precisará fazer alguns cálculos algébricos antes de substituir T=2.

Passo 1

O enunciado e o que ele pede:
  • A função dada é f(t)=\dfrac{1}{t} para t\neq0.
  • Parte (a) pede a taxa de variação média de f em:
    • (i) no intervalo de t=2 a t=3;
    • (ii) no intervalo de t=2 a t=T.
  • Parte (b) pede uma tabela de valores dessa taxa média no intervalo [2,T] para T=2,1;\;2,01;\;2,001;\;2,0001;\;2,00001;\;2,000001.
  • Parte (c) pergunta o que a tabela indica sobre a taxa média em t=2.
  • Parte (d) pede que se calcule o limite, quando T\to2, da taxa média de variação de f no intervalo de 2 a T; diz que é preciso fazer álgebra antes de substituir T=2.

Passo 2

O que é taxa média de variação (uma pequena aula): para qualquer função f e dois pontos a e b com a\neq b, a taxa média de variação de f em [a,b] é
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Isto mede a variação média de f por unidade de t entre a e b; geometricamente é o coeficiente angular da reta secante que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)).

Passo 3

Calcule a taxa média de variação de f(t)=\dfrac{1}{t} de t=2 a t=3 (parte (a)(i)).
Aplicando a fórmula com a=2 e b=3:
\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}{1}.
Agora simplificar o numerador:
\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-3}{6}=\dfrac{-1}{6}.
Dividindo por 1 não muda, logo a taxa média é
-\dfrac{1}{6}.

Passo 4

Calcule a taxa média de variação de f de t=2 a t=T (parte (a)(ii)).
Usando a fórmula com a=2 e b=T:
\frac{f(T)-f(2)}{T-2} = \frac{\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{2}}{T-2}.
Simplifico o numerador escrevendo com denominador comum:
\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-T}{2T}.
Então
\frac{f(T)-f(2)}{T-2} = \frac{\dfrac{2-T}{2T}}{T-2}.
Perceba que 2-T=-(T-2), portanto
\frac{\dfrac{2-T}{2T}}{T-2} = \frac{-(T-2)}{2T(T-2)} = -\frac{1}{2T}.
Conclusão: para T\neq2 a taxa média no intervalo [2,T] é
-\frac{1}{2T}.

Passo 5

Aplicar a fórmula encontrada para fazer a tabela pedida em (b). Vamos calcular -\dfrac{1}{2T} para cada T dado e apresentar aproximações decimais (usar vírgula como separador decimal).
  • Para T=2{,}1:
-\frac{1}{2T}=-\frac{1}{2\cdot 2{,}1}=-\frac{1}{4{,}2}=-\frac{5}{21}\approx -0,238095.
  • Para T=2{,}01:
-\frac{1}{2\cdot 2{,}01}=-\frac{1}{4{,}02}\approx -0,248756.
  • Para T=2{,}001:
-\frac{1}{2\cdot 2{,}001}=-\frac{1}{4{,}002}\approx -0,249875.
  • Para T=2{,}0001:
-\frac{1}{2\cdot 2{,}0001}=-\frac{1}{4{,}0002}\approx -0,2499875.
  • Para T=2{,}00001:
-\frac{1}{2\cdot 2{,}00001}=-\frac{1}{4{,}00002}\approx -0,24999875.
  • Para T=2{,}000001:
-\frac{1}{2\cdot 2{,}000001}=-\frac{1}{4{,}000002}\approx -0,249999875.

Passo 6

Interpretação da tabela (parte (c)): os valores da taxa média estão se aproximando de -0,25 (ou seja, de -\dfrac{1}{4}) à medida que T chega mais perto de 2. Portanto a tabela indica que a taxa média de variação de f em t=2 tende para -\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Cálculo do limite pedido (parte (d)), mostrando a álgebra antes de substituir T=2.
Partimos da expressão já simplificada para a taxa média:
\frac{f(T)-f(2)}{T-2} = -\frac{1}{2T}\quad (T\neq2).
Agora tomamos o limite quando T\to2:
\lim_{T\to 2}\frac{f(T)-f(2)}{T-2} = \lim_{T\to 2}\left(-\frac{1}{2T}\right) = -\frac{1}{2\cdot 2} = -\frac{1}{4}.
Isto confirma o que a tabela sugeriu.

Passo 8

Comentário final (didático e motivador): o processo que fizemos — calcular a taxa média e tomar o limite quando o segundo ponto se aproxima do primeiro — é exatamente a maneira de encontrar a taxa de variação instantânea (o que, em cálculo, corresponde à derivada) em t=2. Aqui o resultado final é -\dfrac{1}{4}. Boa! Continua praticando que você pega o jeito rápido.

Resposta

(a)(i) -\dfrac{1}{6}
(a)(ii) -\dfrac{1}{2T}
(b) Tabela de taxas médias:
T=2{,}1 \Rightarrow -0,238095
T=2{,}01 \Rightarrow -0,248756
T=2{,}001 \Rightarrow -0,249875
T=2{,}0001 \Rightarrow -0,2499875
T=2{,}00001 \Rightarrow -0,24999875
T=2{,}000001 \Rightarrow -0,249999875
(c) A tabela indica que a taxa média tende para -\dfrac{1}{4} quando T\to2.
(d) \displaystyle \lim_{T\to 2}\frac{f(T)-f(2)}{T-2}=-\dfrac{1}{4}

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