Para cada forma quadrática escreva na forma q=u^t A u, onde A é simétrica, determine uma matriz diagonal D tal que q(u)=[u]beta^t D[u]beta. Calcule os indices de positividade e nulidade.
q(x, y)=2 x^2-4 x y+5 y^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a forma quadrática
q(x,y)=2x^2-4xy+5y^2.
O objetivo é escrevê-la como
q(u)=u^tA,u
com A simétrica, depois encontrar uma base beta que diagonalize A de modo que
q(u)=[u]beta^tD,[u]beta
e, por fim, calcular os índices de positividade e nulidade.

Passo 2

Para achar A podemos comparar
q(x,y)=x & y a & b b & c x y = a,x^2 + 2b,xy + c,y^2
Como 2b = -4 vem b = -2, a = 2 e c = 5. Logo
A = 2 & -2 -2 & 5

Passo 3

Encontramos os autovalores resolvendo
det(A - lambda I) = det2 - lambda & -2 -2 & 5 - lambda = (2 - lambda)(5 - lambda) - 4 = lambda^2 - 7lambda + 6 = 0
As raízes são
lambda1 = 7 + 52 = 6, lambda2 = 7 - 52 = 1

Passo 4

Para lambda1 = 6, (A - 6I)v = 0 -4x - 2y = 0, i.e.\ y = -2x. Tomamos
v1 = (1, -2)
Para lambda2 = 1, (A - I)v = 0 x - 2y = 0, i.e.\ y = x/2. Tomamos
v2 = (2, 1)
Na base beta = v1, v2 temos
D = 6 & 0 0 & 1,
pois Avi = lambdai vi. Assim
q(u) = [u]beta^t , D , [u]beta

Passo 5

Os autovalores são 6>0 e 1>0, logo o índice de positividade é 2 e não há autovalor zero, de modo que a nulidade é 0.

Resposta

A = 2 & -2 -2 & 5
Na base beta = (1, -2), (2, 1),
D = 6 & 0 0 & 1.
Índice de positividade = 2, nulidade = 0.

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