Para cada forma quadrática escreva na forma
, onde
é simétrica, determine uma matriz diagonal
tal que
. Calcule os indices de positividade e nulidade.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a forma quadrática
.
O objetivo é escrevê-la como
O objetivo é escrevê-la como
com
simétrica, depois encontrar uma base
que diagonalize
de modo que
e, por fim, calcular os índices de positividade e nulidade.
Passo 2
Para achar
podemos comparar
Como
vem
,
e
. Logo
Passo 3
Encontramos os autovalores resolvendo
As raízes são
Passo 4
Para
lambda1 = 6 ,
(A - 6I)v = 0 dá
-4x - 2y = 0 , i.e.\
y = -2x . Tomamos
Para
lambda2 = 1 ,
(A - I)v = 0 dá
x - 2y = 0 , i.e.\
y = x/2 . Tomamos
Na base
beta = v1, v2 temos
pois
Avi = lambdai vi . Assim
Passo 5
Os autovalores são
6>0 e
1>0 , logo o índice de positividade é
2 e não há autovalor zero, de modo que a nulidade é
0 .
Resposta
Na base
beta = (1, -2), (2, 1) ,
Índice de positividade
= 2 , nulidade
= 0 .