Sejam
e
matriz invertível. Para toda forma quadrática
, prove que
é uma forma quadrática sobre
, com a mesma assinatura de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e que
é uma matriz invertível em
. Dada qualquer forma quadrática
, definimos
Precisamos provar dois fatos:
-
é de fato uma forma quadrática em . -
tem a mesma assinatura de .
Para isso vamos usar a representação matricial de formas quadráticas e o Teorema de Sylvester (lei de inércia), que diz que matrizes simétricas congruentes por transformação invertível têm o mesmo número de valores próprios positivos, negativos e nulos.
Passo 2
Como
é forma quadrática, existe uma matriz simétrica
tal que, para todo
,
Passo 3
Definindo
, substituímos a expressão de
:
Seja
Como
é simétrica e
é inversível,
também é simétrica e não degenerada. Logo
é uma forma quadrática sobre
.
Passo 4
Observe que
e
estão relacionadas por
ou seja, são matrizes simétricas congruentes via a transformação invertível
. Pelo Teorema de Sylvester (ou lei de inércia), matrizes simétricas congruentes têm exatamente o mesmo número de autovalores positivos, negativos e nulos. Portanto,
e
têm a mesma assinatura.