Sejam V=R^n e A matriz invertível. Para toda forma quadrática q: V R, prove que h: V R, h(u)= q(A u) é uma forma quadrática sobre V, com a mesma assinatura de q.

Passo 1

O enunciado diz que V=R^n e que A é uma matriz invertível em R^ntimes n. Dada qualquer forma quadrática q:VtoR, definimos
h(u)=q(Au),
Precisamos provar dois fatos:
  1. h é de fato uma forma quadrática em V.
  2. h tem a mesma assinatura de q.
Para isso vamos usar a representação matricial de formas quadráticas e o Teorema de Sylvester (lei de inércia), que diz que matrizes simétricas congruentes por transformação invertível têm o mesmo número de valores próprios positivos, negativos e nulos.

Passo 2

Como q é forma quadrática, existe uma matriz simétrica QinR^ntimes n tal que, para todo xinR^n,
q(x)=x^T,Q,x

Passo 3

Definindo h(u)=q(Au), substituímos a expressão de q:
h(u) =q(Au) =(Au)^T,Q,(Au) = u^T,(A^T Q A),u
Seja
Q' = A^T,Q,A
Como Q é simétrica e A é inversível, Q' também é simétrica e não degenerada. Logo
h(u)=u^T,Q',u
é uma forma quadrática sobre R^n.

Passo 4

Observe que Q' e Q estão relacionadas por
Q' = A^T,Q,A,
ou seja, são matrizes simétricas congruentes via a transformação invertível A. Pelo Teorema de Sylvester (ou lei de inércia), matrizes simétricas congruentes têm exatamente o mesmo número de autovalores positivos, negativos e nulos. Portanto, Q' e Q têm a mesma assinatura.

Resposta

h(u)=q(Au) é uma forma quadrática em R^n cuja matriz associada Q'=A^TQA é congruente à matriz Q de q. Assim, pela lei de inércia de Sylvester, h tem a mesma assinatura de q.

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