Para cada forma quadrática escreva na forma q=u^t A u, onde A é simétrica, determine uma matriz diagonal D tal que q(u)=[u]beta^t D[u]beta. Calcule os indices de positividade e nulidade.
q(x, y)=x^2+8 x y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma quadrática
q(x,y)=x^2+8xy+y^2
na forma q(u)=u^tAu com A simétrica, depois encontrar uma base beta que diagonaliza A, obtendo uma matriz diagonal D tal que
q(u)=[u]beta^t,D,[u]beta,
e por fim calcular o índice de positividade e o índice de nulidade. Vamos usar o método de autovalores e autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Identificamos o vetor u=(x,y)^t e escrevemos q(u)=u^tAu. Os coeficientes de x^2, xy e y^2 determinam
A = 1 & 4 4 & 1 ,
pois x^tAx = 1cdot x^2 + 2cdot4cdot x y + 1cdot y^2 = x^2+8xy+y^2. Note que A é simétrica.

Passo 3

Calculemos os autovalores de A. O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 4 4 & 1-lambda =(1-lambda)^2-16 =lambda^2-2lambda-15
As raízes são
lambda =2pmraiz4+602 =2pm82,
ou seja lambda1=5 e lambda2=-3.

Passo 4

Agora achamos autovetores:
Para , resolvemos
que dá . Tomamos .
Para , resolvemos
que dá . Tomamos .
Assim, a base diagonaliza .

Passo 5

Na base beta, a matriz de q é diagonal com entradas os autovalores correspondentes:
D = 5 & 0 0 & -3
Logo, se [u]beta=(u1,u2)^t, temos
q(u)=[u]beta^tD,[u]beta =5,u1^2-3,u2^2

Passo 6

Os índices de positividade e nulidade são, respectivamente:
  • índice de positividade: número de autovalores positivos Rightarrow 1,
  • índice de nulidade: multiplicidade do autovalor zero Rightarrow 0.

Resposta

A forma matricial é A=l(1&44&1r).
Em base beta=(1,1),(1,-1) a diagonalização é
D=5&00&-3,
ficando q(u)=5u1^2-3u2^2.
Índice de positividade =1, índice de nulidade =0.

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