Para cada forma quadrática escreva na forma
, onde
é simétrica, determine uma matriz diagonal
tal que
. Calcule os indices de positividade e nulidade.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a forma quadrática
na forma
com
simétrica, depois encontrar uma base
que diagonaliza
, obtendo uma matriz diagonal
tal que
e por fim calcular o índice de positividade e o índice de nulidade. Vamos usar o método de autovalores e autovetores de matrizes simétricas.
Passo 2
Identificamos o vetor
e escrevemos
. Os coeficientes de
,
e
determinam
pois
x^tAx = 1cdot x^2 + 2cdot4cdot x y + 1cdot y^2 = x^2+8xy+y^2 . Note que
A é simétrica.
Passo 3
Calculemos os autovalores de
A . O polinômio característico é
As raízes são
ou seja
lambda1=5 e
lambda2=-3 .
Passo 4
Agora achamos autovetores:
Para
, resolvemos
que dá
. Tomamos
.
Para
, resolvemos
que dá
. Tomamos
.
Assim, a base
diagonaliza
.
Passo 5
Na base
beta , a matriz de
q é diagonal com entradas os autovalores correspondentes:
Logo, se
[u]beta=(u1,u2)^t , temos
Passo 6
Os índices de positividade e nulidade são, respectivamente:
- índice de positividade: número de autovalores positivos
,Rightarrow 1 - índice de nulidade: multiplicidade do autovalor zero
.Rightarrow 0
Resposta
A forma matricial é
A=l(1&44&1r) .
Em basebeta=(1,1),(1,-1) a diagonalização é
Em base
ficando
q(u)=5u1^2-3u2^2 .
Índice de positividade=1 , índice de nulidade
=0 .
Índice de positividade