Usando diagonalização e translação, identifique a quádrica dando a equação padrão em novas coordenadas:
2 x y-6 x+10 y+z-31=0

Passo 1

O enunciado dá a quadric
2xy - 6x + 10y + z - 31 = 0
e pede para, por rotação (diagonalização) no plano xy e depois por translação, chegar à forma padrão. O conteúdo aqui é eliminação do termo misto xy via rotação de eixos e, em seguida, completar quadrados para eliminar termos lineares.

Passo 2

Na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos A=0, B=2, C=0. A rotação que zera B satisfaz
tan(2theta)=BA-C=20=inftyLongrightarrow2theta=90^circ,;theta=45^circ
Definimos então as novas variáveis
u = xcos45^circ + ysin45^circ, v = -,xsin45^circ + ycos45^circ,
isto é
u = x+yraiz2, v = -x+yraiz2

Passo 3

Substituindo em 2xy e nos termos lineares:
2xy = u^2 - v^2,
-6x + 10y = -6u-vraiz2 + 10u+vraiz2 = 2raiz2,u + 8raiz2,v
Logo a equação vira
u^2 - v^2 + 2raiz2,u + 8raiz2,v + z - 31 = 0

Passo 4

Agora completamos quadrados em u e v:
u^2 + 2raiz2,u = (u+raiz2)^2 - 2,
-,v^2 + 8raiz2,v = -l(v-4raiz2r)^2 + 32
Substituindo na equação obtém-se
(u+raiz2)^2 - (v-4raiz2)^2 + z - 1 = 0

Passo 5

Fazendo a translação final
U = u + raiz2, V = v - 4raiz2, W = z - 1,
chegamos à forma canônica
W = -,U^2 + V^2,
que é a equação de um paraboloide hiperbólico.

Resposta

Paraboloide hiperbólico com equação padrão em (U,V,W):
W = -,U^2 + V^2

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