Usando diagonalização e translação, identifique a quádrica dando a equação padrão em novas coordenadas:
Passo 1
O enunciado dá a quadric
e pede para, por rotação (diagonalização) no plano
e depois por translação, chegar à forma padrão. O conteúdo aqui é eliminação do termo misto
via rotação de eixos e, em seguida, completar quadrados para eliminar termos lineares.
Passo 2
Na forma geral
temos
,
,
. A rotação que zera
satisfaz
Definimos então as novas variáveis
isto é
Passo 3
Substituindo em
e nos termos lineares:
Logo a equação vira
Passo 4
Agora completamos quadrados em
e
:
Substituindo na equação obtém-se
Passo 5
Fazendo a translação final
chegamos à forma canônica
que é a equação de um paraboloide hiperbólico.
Resposta
Paraboloide hiperbólico com equação padrão em
: