Para cada forma quadrática escreva na forma , onde é simétrica, determine uma matriz diagonal tal que . Calcule os indices de positividade e nulidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática em
e pede: (i) escrever com simétrica; (ii) encontrar uma base em que a matriz de seja diagonal ; (iii) calcular o índice de positividade e a nulidade. O conteúdo é a redução pelo método de completar quadrados e diagonalização por congruência.
Passo 2
Para escrever basta identificar os coeficientes de e dos termos mistos:
pois 2x^2 dá a11=2, y^2 dá a22=1, z^2 dá a33=1, 8xy dá a12=a21=4, 8xz dá a13=a31=4 e -16yz dá a23=a32=-8.]
Passo 3
Vamos reduzir por congruência completando quadrados em x. Agrupamos