Para cada forma quadrática escreva na forma q=u^t A u, onde A é simétrica, determine uma matriz diagonal D tal que q(u)=[u]beta^t D[u]beta. Calcule os indices de positividade e nulidade.
q(x, y, z)=2 x^2+y^2+z^2+8 x y+8 x z-16 y z

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática em R^3
q(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2+8xy+8xz-16yz
e pede: (i) escrever q(u)=u^tAu com A simétrica; (ii) encontrar uma base beta em que a matriz de q seja diagonal D; (iii) calcular o índice de positividade e a nulidade. O conteúdo é a redução pelo método de completar quadrados e diagonalização por congruência.

Passo 2

Para escrever q(x,y,z)=u^tAu basta identificar os coeficientes de x^2,y^2,z^2 e dos termos mistos:
A= 2 & 4 & 4[6pt] 4 & 1 & -8[3pt] 4 & -8 & 1 ,
pois 2x^2 a11=2, y^2 a22=1, z^2 a33=1, 8xy a12=a21=4, 8xz a13=a31=4 e -16yz a23=a32=-8.]

Passo 3

Vamos reduzir por congruência completando quadrados em x. Agrupamos
2x^2+8x(y+z) =2l(x^2+4x(y+z)r) =2l[(x+2(y+z))^2-4(y+z)^2r]
Logo,
q=2(x+2y+2z)^2 -8(y+z)^2 +l(y^2+z^2-16yzr)

Passo 4

Agora reduzimos a parte em (y,z):
-8(y+z)^2+y^2+z^2-16yz =-7y^2-32yz-7z^2
Definimos novas coordenadas
u2=y-z, u3=y+z,
de modo que
y=tfracu2+u32, z=tfracu3-u22
Substituindo, obtém-se
-7y^2-32yz-7z^2 =92,u2^2-232,u3^2

Passo 5

Definimos também
u1=x+2y+2z
Na base beta=u1,u2,u3 a forma fica
q=2,u1^2 +92,u2^2 -232,u3^2
Portanto a matriz diagonal é
D= 2 & 0 & 0[3pt] 0 & tfrac92 & 0[3pt] 0 & 0 & -tfrac232 ,
e a mudança de base beta é dada pelos vetores colunas
u1=(1,2,2), u2=(0,1,-1), u3=(0,1,1) ]

Passo 6

Na forma diagonal temos dois coeficientes positivos ( 2,tfrac92), um negativo ( -tfrac232) e nenhum zero. Assim:
  • Índice de positividade (número de quadrados positivos): 2.
  • Nulidade (número de coeficientes nulos): 0.

Resposta

A forma quadrática pode ser escrita como
q(u)=u^tA,u, A= 2 & 4 & 4[3pt] 4 & 1 & -8[3pt] 4 & -8 & 1
Na base beta=(1,2,2),(0,1,-1),(0,1,1) obtemos
q(u)=[u]beta^tD,[u]beta, D= 2 & 0 & 0[3pt] 0 & tfrac92 & 0[3pt] 0 & 0 & -tfrac232
Índice de positividade =2, nulidade =0.]

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