Para cada forma quadrática escreva na forma q=u^t A u, onde A é simétrica, determine uma matriz diagonal D tal que q(u)=[u]beta^t D[u]beta. Calcule os indices de positividade e nulidade.
q(x, y, z)=x^2+y^2+3 z^2-4 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática
q(x,y,z) = x^2 + y^2 + 3z^2 - 4xy
em R^3. Precisamos escrever q como
q(u)=u^t A,u
com A simétrica, depois encontrar uma base beta em que essa forma fica diagonal
[u]beta^tD,[u]beta
e, por fim, calcular o índice de positividade (número de autovalores positivos, ou entradas positivas em D) e a nulidade (número de zeros em D).

Passo 2

Para achar A, lembramos que os coeficientes fora da diagonal vêm dos termos cruzados divididos por 2. Como o termo em xy é -4xy, temos A12=A21=-2, e os termos quadráticos dão as entradas da diagonal. Assim,
A = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Passo 3

Fazemos a redução de Lagrange por meio de completamento de quadrados no subespaço gerado por x,y. Note que
x^2 - 4xy + y^2 = (x - 2y)^2 - 4y^2 + y^2 = (x - 2y)^2 - 3y^2
Definimos as novas variáveis
u1 = x - 2y, u2 = y, u3 = z

Passo 4

Em termos de u=(u1,u2,u3), a forma fica
q = u1^2 - 3,u2^2 + 3,u3^2
Portanto, na base beta=u1,u2,u3 a matriz diagonal é
D = 1 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A matriz simétrica associada é
A = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 ,
a forma diagonalizada em beta é
q(u) = [u]beta^t 1 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & 3 [u]beta,
o índice de positividade é 2 (duas entradas positivas em D) e a nulidade é 0 (nenhuma entrada nula).

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