Para cada forma quadrática escreva na forma , onde é simétrica, determine uma matriz diagonal tal que . Calcule os indices de positividade e nulidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática
em . Precisamos escrever como
com simétrica, depois encontrar uma base em que essa forma fica diagonal
e, por fim, calcular o índice de positividade (número de autovalores positivos, ou entradas positivas em ) e a nulidade (número de zeros em ).
Passo 2
Para achar , lembramos que os coeficientes fora da diagonal vêm dos termos cruzados divididos por 2. Como o termo em é , temos , e os termos quadráticos dão as entradas da diagonal. Assim,
Passo 3
Fazemos a redução de Lagrange por meio de completamento de quadrados no subespaço gerado por x,y. Note que