Para cada forma quadrática escreva na forma q=u^t A u, onde A é simétrica, determine uma matriz diagonal D tal que q(u)=[u]beta^t D[u]beta. Calcule os indices de positividade e nulidade.
q(x, y, z)=x^2+z^2-2 x y+2 y z.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a forma quadrática
q(x,y,z)=x^2+z^2-2xy+2yz
Queremos:
– escrevê-la como q(u)=u^tAu com A simétrica;
– encontrar uma base beta em que a matriz de q seja diagonal D (redução por congruência);
– calcular os índices de positividade e de nulidade.

Passo 2

Obtemos A coletando coeficientes de x^2,y^2,z^2 e dos termos mistos:
– coeficiente de x^2 é 1, de y^2 é 0, de z^2 é 1;
– termo -2xy implica A12+A21=-2, escolhemos A12=A21=-1;
– termo 2yz implica A23+A32=2, escolhemos A23=A32=1;
– não há termo xz, logo A13=A31=0.
Assim
A = 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ,
e de fato q(u)=u^tAu para u=(x,y,z)^t.

Passo 3

Fazemos redução por congruência via completamento de quadrados:
q = x^2-2xy + z^2+2yz = (x-y)^2-y^2 + (z+y)^2-y^2 = (x-y)^2 + (z+y)^2 -2,y^2

Passo 4

Definimos novas variáveis
u1=x-y, u2=z+y, u3=y
e adotamos a base beta=(1,-1,0),(0,1,1),(0,1,0). Nessas coordenadas [u]beta=(u1,u2,u3)^t, obtemos
q = u1^2 + u2^2 - 2,u3^2
Logo a matriz diagonal da forma é
D = diag(1,,1,,-2)

Passo 5

Os índices de inércia de Sylvester:
– índice de positividade i+= número de coeficientes positivos em D =2;
– índice de nulidade = número de coeficientes zero em D =0.

Resposta

A matriz simétrica é
A = 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Na base beta=(1,-1,0),(0,1,1),(0,1,0),
q([u]beta) = [u]beta^t 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 [u]beta
Índice de positividade =2, índice de nulidade =0.

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