Para cada forma quadrática escreva na forma , onde é simétrica, determine uma matriz diagonal tal que . Calcule os indices de positividade e nulidade. .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a forma quadrática
Queremos:
– escrevê-la como com simétrica;
– encontrar uma base em que a matriz de seja diagonal (redução por congruência);
– calcular os índices de positividade e de nulidade.
Passo 2
Obtemos coletando coeficientes de e dos termos mistos:
– coeficiente de é , de é , de é ;
– termo implica , escolhemos ;
– termo implica , escolhemos ;
– não há termo , logo .
Assim
e de fato q(u)=u^tAu para u=(x,y,z)^t.
Passo 3
Fazemos redução por congruência via completamento de quadrados:
e adotamos a base beta=(1,-1,0),(0,1,1),(0,1,0). Nessas coordenadas [u]beta=(u1,u2,u3)^t, obtemos
q = u1^2 + u2^2 - 2,u3^2
Logo a matriz diagonal da forma é
D = diag(1,,1,,-2)
Passo 5
Os índices de inércia de Sylvester:
– índice de positividade i+= número de coeficientes positivos em D=2;
– índice de nulidade = número de coeficientes zero em D=0.