Diagonalize as formas quadráticas dadas e determine os índices de positividade e nulidade. Quais são positivas? Quais são semi-positivas?
q=x y, onde V=R^2

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
q(x,y)=x,y
em V=R^2 e determinar os índices de positividade e nulidade. O que vamos precisar é:
1. Escrever q através de uma matriz simétrica M.
2. Encontrar uma mudança de base que torne M diagonal.
3. Ler os sinais dos elementos diagonais para obter os índices.

Passo 2

A forma q(x,y)=x,y pode ser escrita em coordenadas padrão (x,y) como
q(x,y) = x & y 0 & tfrac12[6pt]tfrac12 & 0 x[3pt]y
Portanto a matriz associada é
M = 0 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 ]

Passo 3

Procuramos uma base onde M fique diagonal. Definimos variáveis
u = x + y, v = x - y
Em termos de (u,v), temos
x = u+v2, y = u-v2,
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q(x,y) = x,y = (u+v)(u-v)4 = u^2 - v^24
Isso mostra que, na base (1,1),(1,-1), a forma fica
q = 14,u^2 ;-;14,v^2

Passo 4

Na forma diagonal tfrac14u^2 - tfrac14v^2 os coeficientes diagonais são tfrac14 e -tfrac14.
  • O número de coeficientes positivos é 1.
  • O número de coeficientes negativos é 1.
  • Não há coeficientes nulos, então a nulidade é 0.
Como existem sinais positivos e negativos, q é indefinida (não é positiva definida nem semidefinida).

Resposta

Forma diagonal:
q = 14,u^2 - 14,v^2
Índice de positividade: 1.
Índice de negatividade: 1.
Índice de nulidade: 0.
A forma é indefinida (nem positiva, nem semipositiva).

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