Diagonalize as formas quadráticas dadas e determine os índices de positividade e nulidade. Quais são positivas? Quais são semi-positivas? , onde
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a forma quadrática
em e determinar os índices de positividade e nulidade. O que vamos precisar é: . Escrever através de uma matriz simétrica . . Encontrar uma mudança de base que torne diagonal. . Ler os sinais dos elementos diagonais para obter os índices.
Passo 2
A forma pode ser escrita em coordenadas padrão como
Portanto a matriz associada é
M = 0 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 ]
Passo 3
Procuramos uma base onde M fique diagonal. Definimos variáveis
u = x + y, v = x - y
Em termos de (u,v), temos
x = u+v2, y = u-v2,
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q(x,y) = x,y = (u+v)(u-v)4 = u^2 - v^24
Isso mostra que, na base (1,1),(1,-1), a forma fica
q = 14,u^2 ;-;14,v^2
Passo 4
Na forma diagonal tfrac14u^2 - tfrac14v^2 os coeficientes diagonais são tfrac14 e -tfrac14.
O número de coeficientes positivos é 1.
O número de coeficientes negativos é 1.
Não há coeficientes nulos, então a nulidade é 0.
Como existem sinais positivos e negativos, q é indefinida (não é positiva definida nem semidefinida).
Resposta
Forma diagonal:
q = 14,u^2 - 14,v^2
Índice de positividade: 1.
Índice de negatividade: 1.
Índice de nulidade: 0.
A forma é indefinida (nem positiva, nem semipositiva).