Diagonalize as formas quadráticas dadas e determine os índices de positividade e nulidade. Quais são positivas? Quais são semi-positivas?
q=x z+x^2, onde V=R^3

Passo 1

O enunciado define a forma quadrática
qcolon R^3toR, q(x,y,z)=x^2 + xz
e pede para diagonalizá-la, encontrando os índices de positividade ( r+), de negatividade ( r-) e de nulidade ( r0), além de dizer se ela é positiva ou semipositiva. Iremos usar a matriz associada e o método de completar o quadrado (Lei de Inércia de Sylvester).

Passo 2

Em coordenadas padrão , a matriz simétrica de é dada por
onde os únicos coeficientes não nulos são
Assim

Passo 3

Para diagonalizar, completamos o quadrado em x:
x^2 + xz =l(x+tfrac z2r)^2 - z^24
Definindo as novas variáveis
u = x + tfrac z2, v = tfrac z2, w = y,
vemos que
q = u^2 ;-; v^2 ;+; 0cdot w^2

Passo 4

Na forma diagonal canônica os coeficientes são (+1,,-1,,0). Logo
r+ = 1, r- = 1, r0 = 1

Passo 5

Como há um coeficiente negativo, q não é definida positiva e, portanto, também não é semidefinida positiva. Trata-se de uma forma indefinida.

Resposta

A forma quadrática é equivalente a diag(1,-1,0), com índices (r+,r-,r0)=(1,1,1). Não há nenhuma direção exclusivamente positiva nem semipositiva; q é indefinida.

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