Para cada função

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função f definida de forma diferente dependendo do valor de x . Nosso objetivo é determinar o domínio de f , ou seja, todos os valores de x para os quais f(x) está definida. Além disso, queremos saber se é possível encontrar uma função g que seja contínua em todos os reais ( R ) e que coincida com f(x) para cada x no domínio de f . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções definidas à parte e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio de [f). Olhando para a definição da função:
Vemos que que são maiores que e para todos os que são menores que . Porém, não há definição para . Isso significa que o domínio de , que chamamos de , é todos os números reais exceto :

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos encontrar uma função g: R R que seja contínua em todos os reais e que coincida com f(x) onde f está definida. Para isso, precisamos analisar o comportamento de f(x) perto de x = -2 .
Vamos calcular os limites laterais de f(x) quando x se aproxima de -2:
  1. Limite pela direita ( x to -2^+ ):
limx to -2^+ f(x) = limx to -2^+ (3x + 1) = 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5
  1. Limite pela esquerda ( x to -2^- ):
limx to -2^- f(x) = limx to -2^- (-2x) = -2(-2) = 4

Passo 4

Observamos que os limites laterais são diferentes:
limx to -2^+ f(x) = -5 e limx to -2^- f(x) = 4
Como os limites não são iguais, não existe um valor que possamos atribuir a g(-2) que tornaria g contínua nesse ponto. A continuidade de g exigiria que os limites laterais fossem iguais e que g(-2) fosse igual a esse limite comum.

Resposta

Portanto, o domínio de f é D(f) = R setminus -2 e não é possível encontrar uma função g: R R que seja contínua em todos os reais e que coincida com f(x) para todo x in D(f) .

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