Esboce o gráfico de f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x) :
f(x)=lllx+2|x+2|, & x neq-2 0, & x=-2 & (a=-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes e precisamos entender o comportamento dela próximo de a = -2 . A matéria envolvida é a de limites, que nos ajuda a entender para qual valor a função se aproxima quando a gente se aproxima de um ponto específico. Vamos precisar lembrar como calcular limites laterais (à esquerda e à direita) e verificar se o limite geral existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a função [f(x)). Ela está definida da seguinte forma:
Isso significa que, para qualquer , e no ponto , a função vale 0.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico da função para visualizar melhor. Para x neq -2 , a expressão x+2|x+2| pode ser simplificada.
Sabemos que |x+2| é igual a x+2 se x+2 >= 0 e igual a -(x+2) se x+2 < 0 . Então:
  • Se x + 2 > 0 (ou seja, x > -2 ), temos:
x+2|x+2| = x+2x+2 = 1
  • Se x + 2 < 0 (ou seja, x < -2 ), temos:
x+2|x+2| = x+2-(x+2) = -1
Portanto, a função f(x) é igual a 1 para x > -2 e igual a -1 para x < -2 . No ponto x = -2 , a função vale 0.

Passo 4

Agora que entendemos a função, vamos calcular os limites laterais em x = -2 .
Primeiro, o limite à esquerda de a = -2 :
limx to -2^- f(x)
Para x se aproximando de -2 pela esquerda ( x < -2 ), sabemos que f(x) = -1 . Então:
limx to -2^- f(x) = -1

Passo 5

Agora, o limite à direita de a = -2 :
limx to -2^+ f(x)
Para x se aproximando de -2 pela direita ( x > -2 ), sabemos que f(x) = 1 . Então:
limx to -2^+ f(x) = 1

Passo 6

Para verificar se o limite geral limx to -2 f(x) existe, precisamos ver se os limites laterais são iguais.
Aqui, temos:
limx to -2^- f(x) = -1 e limx to -2^+ f(x) = 1
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O gráfico de f(x) tem um salto em x = -2 , assumindo o valor -1 à esquerda e 1 à direita de -2, com f(-2) = 0 . Os limites são:
limx to -2^- f(x) = -1
limx to -2^+ f(x) = 1
limx to -2 f(x) não existe ã

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