Para cada função abaixo, calcule fx, fy, fx x, fy y, fx y, fy x
(a) f(x, y)=2 x^2 y^2+x y-1
(b) z=sen(x) cos (y)
(c) z=x sen(x) e^y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo das derivadas parciais de primeira ordem fx, fy e de segunda ordem fxx, fyy, fxy, fyx para três funções de duas variáveis. O conteúdo aplicado aqui é o de derivadas parciais e uso da regra do produto e da cadeia quando necessário.

Passo 2

Item (a): f(x,y)=2x^2y^2+xy-1.
Para calcular fx mantemos y constante e derivamos em relação a x:
fx=partialpartial xl(2x^2y^2+xy-1r) =4xy^2+y
Para calcular fy mantemos x constante e derivamos em relação a y:
fy=partialpartial yl(2x^2y^2+xy-1r) =4x^2y+x
As segundas derivadas são:
fxx=partialpartial x(4xy^2+y)=4y^2,
fyy=partialpartial y(4x^2y+x)=4x^2,
fxy=partialpartial y(4xy^2+y)=8xy+1,
fyx=partialpartial x(4x^2y+x)=8xy+1

Passo 3

Item (b): z=sin(x)cos(y).
Derivando em x (mantendo y fixo):
zx=partialpartial xl(sin(x)cos(y)r) =cos(x)cos(y)
Derivando em y (mantendo x fixo):
zy=partialpartial yl(sin(x)cos(y)r) =-sin(x)sin(y)
Segundas derivadas:
zxx=partialpartial xl(cos(x)cos(y)r) =-sin(x)cos(y),
zyy=partialpartial yl(-sin(x)sin(y)r) =-sin(x)cos(y),
zxy=partialpartial yl(cos(x)cos(y)r) =-cos(x)sin(y),
zyx=partialpartial xl(-sin(x)sin(y)r) =-cos(x)sin(y)

Passo 4

Item (c): z= xsin(x)e^y.
Derivada em x aplica regra do produto em xsin(x) e trata e^y como constante:
zx=l(sin(x)+xcos(x)r)e^y
Derivada em y trata xsin(x) como constante e deriva e^y:
zy=xsin(x)e^y
Segundas derivadas:
zxx=partialpartial xl[(sin(x)+xcos(x))e^yr] =l(2cos(x)-xsin(x)r)e^y,
zyy=partialpartial yl[xsin(x)e^yr] =xsin(x)e^y,
zxy=partialpartial yl[(sin(x)+xcos(x))e^yr] =(sin(x)+xcos(x))e^y,
zyx=partialpartial xl[xsin(x)e^yr] =(sin(x)+xcos(x))e^y

Resposta

(a)
fx=4xy^2+y, fy=4x^2y+x,
fxx=4y^2, fyy=4x^2, fxy=fyx=8xy+1
(b)
zx=cos(x)cos(y), zy=-sin(x)sin(y),
zxx=zyy=-sin(x)cos(y), zxy=zyx=-cos(x)sin(y)
(c)
zx=(sin(x)+xcos(x))e^y, zy=xsin(x)e^y,
zxx=(2cos(x)-xsin(x))e^y, zyy=xsin(x)e^y, zxy=zyx=(sin(x)+xcos(x))e^y

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