Para cada função abaixo, calcule o quociente f(x+h)-f(x)h para h neq 0.
f(x)=4 x^3-3 x^2-9;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente de diferença
f(x+h)-f(x)h
para hneq0 da função f(x)=4x^3-3x^2-9. Vamos usar expansão binomial em f(x+h), depois subtrair f(x), fatorar h e simplificar.

Passo 2

Expandindo f(x+h):
f(x+h)=4(x+h)^3-3(x+h)^2-9
Como
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3, (x+h)^2=x^2+2xh+h^2,
temos
f(x+h)=4l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r) -3l(x^2+2xh+h^2r)-9

Passo 3

Distributando e simplificando:
f(x+h)=4x^3+12x^2h+12xh^2+4h^3 -3x^2-6xh-3h^2-9
Então
f(x+h)-f(x) =l(4x^3+12x^2h+12xh^2+4h^3-3x^2-6xh-3h^2-9r) -l(4x^3-3x^2-9r)
Cancelando os termos idênticos sobra
f(x+h)-f(x)=12x^2h+12xh^2+4h^3-6xh-3h^2

Passo 4

Fatoramos h no numerador e dividimos por h:
f(x+h)-f(x)h =hl(12x^2+12xh+4h^2-6x-3hr)h =12x^2+12xh+4h^2-6x-3h

Resposta

f(x+h)-f(x)h =12x^2-6x+12xh-3h+4h^2

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