Para cada função abaixo, calculecalcule
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
,
,
,
,
e
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e regras de produto e cadeia.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de primeira ordem.
Como é constante em relação a
, ao derivar em
aplicamos a regra do produto em
:
Como
Logo,
Para
tratamos
como constante e derivamos
, obtendo
Passo 3
Agora as derivadas segundas puras.
Para derivamos
em relação a
;
continua constante, e
Para
Logo,
Para
derivamos
em
, obtendo novamente
Passo 4
Por fim, as derivadas mistas.
Derivando em
vem
Derivando
Derivando
em
obtemos a mesma expressão que em
:
Isso confirma
(teorema de Schwarz).