Para cada função abaixo, calculecalcule fx, fy, fx x, fy y, fx y, fy x
(c) z=x sen(x) e^y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=xsin(x)e^y
e pede todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem: fx, fy, fxx, fyy, fxy e fyx. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e regras de produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de primeira ordem.
Como e^y é constante em relação a x, ao derivar em x aplicamos a regra do produto em xsin(x):
partialpartial xl[xsin(x)r] =sin(x)+xcos(x)
Logo,
fx=l(sin(x)+xcos(x)r)e^y
Para fy tratamos xsin(x) como constante e derivamos e^y, obtendo
fy=xsin(x),e^y

Passo 3

Agora as derivadas segundas puras.
Para fxx derivamos fx=(sin(x)+xcos(x))e^y em relação a x; e^y continua constante, e
ddxl[sin(x)+xcos(x)r] =cos(x)+l(cos(x)-xsin(x)r) =2cos(x)-xsin(x)
Logo,
fxx=l(2cos(x)-xsin(x)r)e^y
Para fyy derivamos fy=xsin(x)e^y em y, obtendo novamente
fyy=xsin(x),e^y

Passo 4

Por fim, as derivadas mistas.
Derivando fx=(sin(x)+xcos(x))e^y em y vem
fxy=(sin(x)+xcos(x))e^y
Derivando fy=xsin(x)e^y em x obtemos a mesma expressão que em fx:
fyx=(sin(x)+xcos(x))e^y
Isso confirma fxy=fyx (teorema de Schwarz).

Resposta

fx=(sin(x)+xcos(x))e^y, fy=xsin(x)e^y,
fxx=(2cos(x)-xsin(x))e^y, fyy=xsin(x)e^y,
fxy=(sin(x)+xcos(x))e^y, fyx=(sin(x)+xcos(x))e^y

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