Para cada função abaixo, descreva a transformação feita em relação a função f(x)=\cos (x) e indique o domínio e imagem da função:
f(x)=\cos \left(\frac{1}{2} x\right)

Passo 1

O enunciado pede para comparar a função f(x)=\cos\bigl(\tfrac12 x\bigr) com a função básica g(x)=\cos(x), descrevendo que transformação ela sofre, e depois determinar o domínio e a imagem de f. Os conceitos envolvidos são transformações de gráficos de funções trigonométricas (escala horizontal) e identificação de domínio e imagem.

Passo 2

Observe que em f(x)=\cos\bigl(\tfrac12 x\bigr) o argumento de \cos foi alterado de x para \tfrac12 x. Isso equivale a substituir x por \tfrac x2 no gráfico de \cos(x), o que provoca uma dilatação horizontal de fator 2. Em outras palavras, o período de \cos(x) era 2\pi e passa a ser
T = 2\pi \times 2 = 4\pi.
Não há deslocamento vertical nem reflexões.

Passo 3

A função \cos\bigl(\tfrac12 x\bigr) está definida para todo x\in\mathbb{R}, pois o cosseno aceita qualquer número real como entrada.

Passo 4

Como o valor de \cos varia sempre entre -1 e 1, a mesma amplitude se mantém em f. Logo, a imagem é o intervalo fechado de -1 a 1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,1]

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