Para cada função abaixo, descreva a transformação feita em relação a função f(x)=\operatorname{sen}(x) e indique o domínio e imagem da função:
f(x)=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para comparar a função f(x)=\sin(2x) com a “função base” f(x)=\sin(x) e, a partir daí, descrever a transformação sofrida pelo gráfico, além de indicar o domínio e a imagem de f(x)=\sin(2x). Vamos usar conceitos de transformações de funções e propriedades da função seno.

Passo 2

Na expressão f(x)=\sin(2x), o fato de multiplicar o argumento x por 2 faz com que o gráfico de \sin(x) seja comprimido no sentido horizontal. Em outras palavras, toda a oscilação que antes ocorria num intervalo de comprimento 2\pi agora ocorre num intervalo de comprimento
\frac{2\pi}{2}=\pi.
Logo, há uma compressão horizontal de fator 2 (ou seja, “metade da largura” original), e o período passa de 2\pi para \pi.

Passo 3

Como \sin(2x) está bem definida para qualquer real x, o domínio é \mathbb{R}. E, como a função seno sempre varia entre -1 e 1, a imagem é
[-1,1].

Resposta

Transformação: horizontalmente comprimida em fator 2 (período reduzido de 2\pi para \pi).
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,1]

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