Escreva os cinco primeiros termos das sequências dadas pelo termo geral a_{n} e, para a sequência dada pelos seus termos, encontre uma fórmula para o termo geral b_{n} :
a_{n}=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n} = \frac{(-1)^{n}(n+1)}{n^{2}},
pede (a) os cinco primeiros termos dessa sequência e (b) que, a partir desses termos, a gente descubra uma fórmula para o termo geral b_{n} da mesma sequência.

Passo 2

Para obter os cinco primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4,5 em
a_{n} = \frac{(-1)^{n}(n+1)}{n^{2}}.
Para n=1:
a_{1} = \frac{(-1)^{1}(1+1)}{1^{2}} = -2.
Para n=2:
a_{2} = \frac{(-1)^{2}(2+1)}{2^{2}} = \frac{3}{4}.
Para n=3:
a_{3} = \frac{(-1)^{3}(3+1)}{3^{2}} = -\frac{4}{9}.
Para n=4:
a_{4} = \frac{(-1)^{4}(4+1)}{4^{2}} = \frac{5}{16}.
Para n=5:
a_{5} = \frac{(-1)^{5}(5+1)}{5^{2}} = -\frac{6}{25}.

Passo 3

Observando os termos
-2,\;\frac{3}{4},\;-\frac{4}{9},\;\frac{5}{16},\;-\frac{6}{25},\dots
vê-se que o sinal é alternado por (-1)^{n}, que o numerador cresce em n+1 e o denominador é n^{2}. Logo, o termo geral pode ser escrito como
b_{n} = \frac{(-1)^{n}(n+1)}{n^{2}}.

Resposta

(a) -2,\;\tfrac{3}{4},\;-\tfrac{4}{9},\;\tfrac{5}{16},\;-\tfrac{6}{25}.
(b) \displaystyle b_{n} = \frac{(-1)^{n}(n+1)}{n^{2}}.

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