Para cada função abaixo, descreva a transformação feita em relação a função f(x)=\operatorname{sen}(x) e indique o domínio e imagem da função:
f(x)=2 \operatorname{sen}(3 x-1)+2

Passo 1

O enunciado pede para compararmos
f(x)=2\operatorname{sen}(3x-1)+2
com a função básica \operatorname{sen}(x), descrevendo quais transformações são aplicadas e, em seguida, indicarmos o domínio e a imagem de f. Para isso precisaremos usar conceitos de translação e escala (esticamento/compressão) em funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, colocamos o argumento de \operatorname{sen} na forma 3(x - x_0). Reescrevendo:
3x - 1 = 3\bigl(x - \tfrac{1}{3}\bigr),
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f(x) = 2\,\operatorname{sen}\bigl(3\,(x - \tfrac{1}{3})\bigr) + 2.

Passo 3

A partir dessa forma, identificamos as transformações em relação a g(x)=\operatorname{sen}(x):
  1. No interior de \operatorname{sen}, o fator 3 comprime horizontalmente a curva por um fator 1/3, reduzindo o período de 2\pi para \tfrac{2\pi}{3}.
  2. A expressão (x-\tfrac{1}{3}) desloca a curva \tfrac{1}{3} unidade para a direita.
  3. O coeficiente exterior 2 estica verticalmente por fator 2, fazendo a amplitude de 1 para 2.
  4. O termo “ +2” desloca verticalmente toda a curva 2 unidades para cima.

Passo 4

Domínio e imagem de f:
Como não há restrição na expressão 3x-1, o domínio é todo \mathbb{R}.
A função \operatorname{sen} varia em [-1,1]. Após o esticamento vertical por 2 e o deslocamento para cima em 2, a imagem passa a ser
[-1,1]\;\xrightarrow{\times2}\;[-2,2]\;\xrightarrow{+2}\;[0,4].

Resposta

Transformações em relação a \operatorname{sen}(x):
– Compressão horizontal por fator 1/3 (período 2\pi\to\tfrac{2\pi}{3}).
– Translação horizontal de \tfrac{1}{3} para a direita.
– Esticamento vertical por fator 2.
– Translação vertical de 2 para cima.
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,4]

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