Para cada função abaixo, determine o diferencial d y=f^{\prime}(x) d x :
f(x)=\operatorname{tg}^{-1}(2 x).

Passo 1

O enunciado pede o diferencial de
f(x)=\tan^{-1}(2x)
ou seja, queremos encontrar
dy=f'(x)\,dx.
O conteúdo necessário é a derivada da função \tan^{-1}(u) e a regra da cadeia.

Passo 2

Recordamos que, para u=u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{-1}(u)\bigr)=\frac{u'}{1+u^2}.
Aqui temos u(x)=2x, logo
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso,
f'(x)=\frac{2}{1+(2x)^2}=\frac{2}{1+4x^2}.

Passo 4

Finalmente, o diferencial é
dy=f'(x)\,dx=\frac{2}{1+4x^2}\,dx.

Resposta

dy=\frac{2}{1+4x^2}\,dx.

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