Para cada função abaixo, determine o diferencial d y=f^{\prime}(x) d x :
f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o diferencial dy = f'(x)\,dx da função
f(x)=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
O conteúdo envolve derivada de função logarítmica composta, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=1+x^{2}.
Como f(x)=\ln(u(x)), pela regra da cadeia
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Agora calcule u'(x).

Passo 3

Temos
u'(x)=2x.
Substituindo em f'(x), obtém-se
f'(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Logo o diferencial é dado por

Resposta

dy = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.

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