Determine o valor da seguinte integral:
\iiint_{R} y d x d y d z
onde R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} y \,dx\,dy\,dz
onde
R = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2+y^2}\le z\le1\}.
O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas e uso de simetria.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com Jacobiano r. A condição \sqrt{x^2+y^2}\le z\le1 vira
r\le z\le1,\quad 0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

A integral fica
\iiint_{R} y \,dx\,dy\,dz =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{1} (r\sin\theta)\,(r\,dz\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r}^{1}r^2\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=r}^{1}dz = 1 - r,
ficando
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\;\times\;\int_{0}^{1}r^2(1-r)\,dr.

Passo 5

Calculamos cada fator:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0, \qquad \int_{0}^{1}r^2(1-r)\,dr = \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
Como o fator angular é zero, a integral total é zero.

Resposta

0

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