Determine os extremos globais das funções no intervalo dado:
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}, \quad[-2,1]

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais da função
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}
no intervalo fechado [-2,1]. Como f é contínua em [-2,1], pelos teorema de Weierstrass os extremos ocorrem em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou indefinida) ou nas bordas x=-2 e x=1.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}(4-x^{2})^{1/2} =\frac12(4-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) =\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Os pontos críticos internos satisfazem f'(x)=0, ou seja:
\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
A derivada também é indefinida em x=\pm2, mas x=-2 é extremo de intervalo e x=2 está fora de [-2,1].

Passo 3

Avaliamos f em x=-2, x=0 e x=1:
f(-2)=\sqrt{4-(-2)^{2}}=\sqrt{0}=0,
f(0)=\sqrt{4-0^{2}}=\sqrt{4}=2,
f(1)=\sqrt{4-1^{2}}=\sqrt{3}.

Passo 4

Comparando os valores:
  • f(-2)=0 é o menor valor encontrado.
  • f(0)=2 é o maior valor encontrado.
  • f(1)=\sqrt{3}\approx1,732 fica entre eles.

Resposta

O valor mínimo global é
f(-2)=0,
e o valor máximo global é
f(0)=2.

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