Determine os extremos globais das funções no intervalo dado:
f(x)=9-x^{2}, \quad[-3,1]

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x) = 9 - x^2
definida no intervalo [-3,1] e queremos determinar os extremos globais (máximo e mínimo) nesse intervalo. Para isso, vamos usar derivadas para achar pontos críticos e também avaliar a função nas fronteiras.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}(9 - x^2) = -2x.
Igualando a zero,
-2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Esse é o único ponto crítico no interior de [-3,1].

Passo 3

Agora, avaliamos f nos pontos candidatos: as extremidades x=-3 e x=1 e o ponto crítico x=0.
f(-3) = 9 - (-3)^2 = 9 - 9 = 0
f(1) = 9 - 1^2 = 9 - 1 = 8
f(0) = 9 - 0^2 = 9

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
O menor valor é 0 em x=-3, logo esse é o mínimo global.
O maior valor é 9 em x=0, logo esse é o máximo global.

Resposta

O mínimo global é f(-3)=0.
O máximo global é f(0)=9.

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